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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

Integrais de linha – Caso Escalar

Um arame tem a força de uma curva obtida como interseção da semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x ≥ 0 , com o plano y + z = 4 . Sabendo que a densidade em cada ponto x , y , z é dada por ρ x , y , z = x , mostre que o momento de inércia em relação ao eixo x é igual a 32 M 3 , onde M é a massa do arame.

Passo 1

Ele quer o momento de inércia em relação ao eixo x , mas repara que ele compara com a massa, então vamos começar calculando a massa. A massa vai ser a integral de linha da função densidade, isso porque

d M = ρ d s

M = ∫ C ρ d s

A integral de linha é escalar, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

M = ∫ a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ → ' |   d t

Com

ρ x , y , z = x

Passo 2

Temos que achar a curva que queremos parametrizar, vamos achar a interseção

x 2 + y 2 + 4 - y 2 = 16

x 2 + y 2 + 16 - 8 y + y 2 = 16

x 2 + 2 y 2 - 8 y = 0

Completando o quadrado

x 2 + 2 y 2 - 8 y + 8 = 8

x 2 + 2 y 2 - 4 y + 4 = 8

x 2 + 2 y - 2 2 = 8

x 2 8 + 2 y - 2 2 8 = 1

x 2 8 + y - 2 2 4 = 1

Isso é uma elipse, então

x t = 8 cos ⁡ t = 2 2 cos ⁡ t

y t = 2 + 2 sen ⁡ t

Mas repara que temos uma função em 3 variáveis né? Falta a parametrização do z ,

Lembra que

z = 4 - y

Então

z t = 4 - 2 - 2 sen ⁡ t

z t = 2 - 2 sen ⁡ t

Como ele quer x ≥ 0 vamos ter

2 2 cos ⁡ t ≥ 0

cos ⁡ t ≥ 0

Isso faz com que

t ∈ - π 2 , π 2

A parametrização vai ser

σ t → = 2 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sen ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t

Onde t ∈ - π 2 , π 2

Passo 3

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 2 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ t

Passo 4

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 2 2 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + - 2 cos ⁡ t 2 = 8 sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

⇒ 8 sen 2 ⁡ t + 8 cos 2 ⁡ t = 8 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 8 = 2 2

Passo 5

Substituindo na integral

∫ a b ρ x t ,   y t , z t .   | σ → ' |   d t = ∫ a b x t .   | σ → ' |   d t

∫ - π / 2 π / 2 2 2 cos ⁡ t . 2 2 d t = ∫ - π / 2 π / 2 8 cos ⁡ t d t

⇒ 8 sen ⁡ t t = - π 2 π 2 = 8 sen ⁡ π 2 - 8 sen ⁡ - π 2

⇒ 8 - - 8 = 16

Então

M = 16

Passo 6

Vamos agora ao momento de inércia, ele quer o momento de inércia em relação ao eixo x , a fórmula do momento de inércia nesse caso vai ser

I = ∫ C y 2 + z 2 ρ d s = ∫ a b y t 2 + z t 2 ρ x t ,   y t , z t .   | σ → ' |   d t

Usando a mesma parametrização de antes vamos resolver essa integral, o que vai mudar é o cara dentro da integral, então vamos ter

I = ∫ - π / 2 π / 2 2 + 2 sen ⁡ t 2 + 2 - 2 sen ⁡ t 2 2 2 cos ⁡ t ⏟ ρ . 2 2 d t ⏟ d S

⇒ ∫ - π / 2 π / 2 4 + 8 sen ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t + 4 - 8 sen ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t 2 2 cos ⁡ t . 2 2 d t

⇒ ∫ - π / 2 π / 2 8 + 8 sen 2 ⁡ t 8 cos ⁡ t d t

⇒ 64 ∫ - π / 2 π / 2 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos resolver essa integral separado

Passo 7

Temos que fazer

∫ 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos fazer a substituição

sen ⁡ t = u

Isso porque

d u = cos ⁡ t d t

E a integral vai ficar

∫ 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ 1 + u 2 d u

E vamos ter

∫ 1 + u 2 d u = u + u 3 3

Voltando para t

u + u 3 3 = sen ⁡ t + sen 3 ⁡ t 3

Passo 8

Voltando para a integral no final do passo 6

64 ∫ - π / 2 π / 2 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos ter

⇒ 64 sen ⁡ t + sen 3 ⁡ t 3 t = - π 2 π 2 = 64 sen ⁡ π 2 + sen 3 ⁡ π 2 3 - sen ⁡ - π 2 + sen 3 ⁡ - π 2 3

⇒ 64 1 + 1 3 - - 1 + - 1 3 3

⇒ 64 4 3 - - 1 - 1 3

⇒ 64 4 3 - - 4 3

⇒ 64 8 3

⇒ 512 3

Então

I = 512 3

Passo 9

Como

M = 16

Vamos ter

I M = 512 / 3 16 = 512 3 ∙ 1 16 = 32 3

Logo

I = 32 3 M

Como ele queria demostrar.

Resposta

Vamos ter

M = 16

I = 512 3

E isso mostra o que ele pede.

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