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Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Momento de Inércia

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 18

18. Calcule a massa do fio γ ( t ) = t + 1 , t + 1 t ∈ 0,1 , cuja densidade linear é δ x , y = 2 x y + y 2 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos calcular a massa do fio γ t = t + 1 , t + 1 cuja densidade linear é dada por δ x , y = 2 x y + y 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para obter a massa de um objeto, podemos utilizar o método de integração dado por

M = ∫ t 0 t 1 δ γ t · γ ' t d t

Portanto temos que aplicar γ t à δ x , y e obter o modulo da derivada de γ e substituir tudo isso em M .

Parece complicado? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos aplicar γ t em f para obter γ t

δ x , y = 2 x y + y 2 γ t = t + 1 , t + 1 → δ γ t = 2 t + 1 t + 1 + t + 1 2

δ γ t = 2 t + 1 2 + t + 1 2

δ γ t = 3 t + 1 2

δ γ t = 3 t 2 + 2 t + 1

Derivando γ t , temos

γ ' t = d t + 1 d t , d t + 1 d t

γ ' t = 1 , 1

Calculando o modulo desse vetor...

γ ' t = 1 2 + 1 2 = 2

Substituindo essas informações em M sabendo que t 0 = 0 e t 1 = 1 como foi dado no enunciado.

M = ∫ t 0 t 1 δ γ t · γ ' t d t = ∫ 0 1 3 t 2 + 2 t + 1 · 2 d t

M = 3 2 ∫ 0 1 t 2 + 2 t + 1 d t

Calculando a integral...

∫ t 2 + 2 t + 1 d t = t 3 3 + t 2 + t

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 t 2 + 2 t + 1 d t = 1 3 3 + 1 2 + 1 - 0 = 7 3

Substituindo o resultado em M ...

M = 3 2 ∫ 0 1 t 2 + 2 t + 1 d t

M = 3 2 7 3

M = 7 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

M = 7 2

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