Um motorista entra em uma rua reta, sem saída, com uma velocidade de 12   k m / h . Ao se deparar com o fim da rua, para, dá marcha a ré e retorna. O gráfico da figura 2.1 mostra sua aceleração em função do tempo.

b) Determine a distância D total percorrida pelo carro para este intervalo de tempo;

Passo 1

Olá gente, tudo certinho por aí?

Nessa questão, temos um carro que possui velocidade inicial, em t = 0,0   m i n , de 12 k m / h e com uma aceleração que varia conforme o gráfico dado no enunciado. Basicamente, em 0 ≤ t ≤ 3,0   m i n , temos quatro fases diferentes:

1 ) Aceleração nula, logo velocidade constante:

v = 12 k m h ,       0 ≤ t ≤ 0,5   m i n

2 ) Aceleração positiva e constante, logo a velocidade aumenta uniformemente:

a = 0,2 k m m i n 2             ,   0,5 ≤ t ≤ 1,5   m i n

3 ) Aceleração negativa e constante, logo a velocidade diminui uniformemente:

a = - 0,8 k m m i n 2           ,     1,5 ≤ t ≤ 2,5   m i n

4 ) Aceleração nula, logo velocidade constante:

Precisaremos descobrir o valor dessa velocidade.

Juntando todas essas informações, no item anterior, conseguimos chegar no seguinte gráfico a velocidade em função do tempo:

Assim, para calcular a Distância total percorrida pelo carro, basta calcularmos a área, em módulo, das regiões entre a nossa curva e o eixo x .

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos calcular a área abaixo da curva em cada uma das 4 fases.

Começando pela fase 1 ) , temos uma velocidade constante de 0,2   k m / m i n em 0 ≤ t ≤ 0,5   m i n .

Logo, a região abaixo da curva é um retângulo e temos:

A 1 = 0,2 ⋅ 0,5

∴ A 1 = 0,1   k m

Vamos agora para a fase 2 ) . Temos que a velocidade vale:

v = 0,2 + 0,2 ( t - 0,5 )

(resultado que encontramos no item anterior).

Logo, a região abaixo da curva é um trapézio, com base menor:

v = 0,2   k m / m i n

E, base maior:

v = 0,4   k m / m i n

Com altura correspondente ao intervalo de tempo dessa fase, ou seja:

Δ t = 1,0   m i n

Logo, a área dessa região vale:

A 2 = 0,2 + 0,4 ⋅ 1 2

∴ A 2 = 0,3   k m  

Tudo tranquilo até aqui?

Passo 3

Bom, vamos agora para a região correspondente à fase 3 ).

Temos dois triângulos simétricos, como queremos a área em módulo, não faz diferença que um esteja acima e o outro abaixo do eixo x .

Portanto, vamos calcular a área de um deles e multiplicar por 2 para obter A 3 .

A altura desse triângulo é a velocidade inicial da fase 3 ) e a base é metade do intervalo de tempo.

Analisando o gráfico vemos que essa velocidade vale:

v = 0,4   k m / m i n

Portanto:

A 3 2 = 0,4 ⋅ 2,5 - 1,5 2

∴ A 3 = 2 ⋅ 0,4 ⋅ 1,0

⇒ A 3 = 0,8   k m

Por fim, na fase 4 ) temos novamente um retângulo, pois a velocidade é constante.

Como a velocidade é de - 0,4 k m / m i n   e o intervalo de tempo é de:

Δ t = 3,0 - 2,5

= 0,5   m i n

Ficamos com:

A 4 = 0,4 ⋅ 0,5

∴ A 4 = 0,2   k m

Para calcular a distância total percorrida D , basta somarmos todos esses valores:

D = A 1 + A 2 + A 3 + A 4

= 0,1 + 0,3 + 0,8 + 0,2

Portanto:

D = 1,4   k m

Terminamosss!!

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Resposta

1,4   k m

Exercícios Resolvidos de Deslocamento X Distância Percorrida

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