Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Um determinado sistema triplo de estrelas consiste em duas estrelas, cada uma de massa m , que giram na mesma órbita circular em torno de uma estrela central de massa M . As duas estrelas situam-se nos extremos opostos de um diâmetro da órbita circular. Qual o período de revolução de cada estrela e sua energia mecânica?

Passo 1

Temos a seguinte situação:

Vamos focar em apenas uma das estrelas em órbita, pois a situação é exatamente idêntica para a outra...

Quais são as forças atuando sobre cada uma das estrelas em órbita?

Existe uma força gravitacional entre as estrelas em órbita F m e além disso uma força gravitacional com a estrela central F M :

Como a órbita é circular, podemos dizer que a força resultante sobre a estrela atua como força centrípeta:

F R = F c t p

F M + F m = F c t p

Assim, conseguimos uma relação com a velocidade orbital v , e uma vez que temos a velocidade orbital, podemos encontrar o período T e também sua energia mecânica.

Passo 2

Vamos calcular cada uma das forças gravitacionais.

A força gravitacional é dada por:

F g = G M m r 2

Como a distância r entre a estrela central e a estrela em órbita é o proprio raio da órbita R , a força gravitacional que ela exerce sobre a estrela em órbita é dada por:

F M = G M m R 2

Já a força entre as duas estrelas em órbita terá como a distância r um valor igual a duas vezes o raio do órbita 2 R e além disso, ambas massas são iguai a m :

F m = G m m 2 R 2

F m = G m 2 4 R 2

Passo 3

Jogando na expressão da força centrípeta, temos:

F M + F m = F c t p

G M m R 2 + G m 2 4 R 2 = m v 2 R

Cortando o R no denominador e a massa m , temos:

G M R + G m 4 R = v 2

v 2 = 4 G M + G m 4 R

Passando a raiz quadrada, conseguimos a velocidade orbital v :

v = G 4 M + m 4 R

Passo 4

Para encontrar o período, podemos simplesmente usar a fórmula de velocidade média:

v m = ∆ S ∆ t

Se considerarmos o percurso de uma volta completa na órbita, temos que o deslocamento será o comprimento da circunferência da órbita:

∆ S = 2 π R

Enquanto o tempo será o próprio período:

∆ t = T

Então, temos que:

G 4 M + m 4 R = 2 π R T

Isolando o período T :

T = 2 π R G 4 M + m 4 R

T = 2 π R 4 R G 4 M + m

Passando aquele R para dentro da raiz:

T = 2 π R 2 4 R G 4 M + m

T = 2 π 4 R 3 G 4 M + m

Tirando o 4 da raiz:

T = 2 π 2 R 3 G 4 M + m

T = 4 π R 3 G 4 M + m

Pronto, achamos o período do movimento.

Passo 5

Agora, vamos pensar na energia mecânica.

A energia mecânica E M será a soma da energia potencial U com cada uma das outras duas estrelas com a energia cinética K :

E M = U M + U m + K

Lembrando que a energia potencial gravitacional U g é dada por:

U g = - G M m r

Onde M e m são as massas dois corpos e r é a distância entre eles.

Então, nossa energia fica assim:

E M = - G M m R + - G m m 2 R + m v 2 2

Podemos ainda substituir o valor que já encontramos para a velocidade orbital v :

v = G 4 M + m 4 R

Então:

E M = - G M m R + - G m m 2 R + m 2 G 4 M + m 4 R 2

E M = - G M m R + - G m m 2 R + m 2 G 4 M + m 4 R

Vamos abrir aquele último termo, para depois colocar os termos comuns em evidência:

E M = - G M m R + - G m m 2 R + m 2 4 G M 4 R + G m 4 R

E M = - G M m R + - G m m 2 R + G M m 2 R + G m m 8 R

Podemos colocar em evidência:

E M = G m R - M - m 2 + M 2 + m 8

Somando as frações, temos:

E M = G m R - M 2 - 3 m 8

E M = - G m 2 R M + 3 m 4

Resposta

T = 4 π R 3 G 4 M + m

E M = - G m 2 R M + 3 m 4

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