Um planeta de massa m orbita uma estrela de massa M. Considerando a massa da estrela muito maior que a do planeta, podemos descrever a energia mecânica E do sistema (constante) em termos do momento angular L (constante), da distância entre o planeta e a estrela r e de sua velocidade radial :
Onde G é a constante gravitacional universal. Note que a contribuição da velocidade angular para a energia cinética é completamente descrita em termos do momento angular L e do momento de inércia I = mr2. A combinação desse termo com a energia potencial gravitacional dá origem a um potencial efetivo, Ue(r), dependente apenas de r.
(a) [1,0] Qual a distância re, correspondente ao mínimo da energia potencial efetiva?
(b) [1,0] Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações ao redor de re, em termos de r’ = r - re.
(c) [1,0] Calcule a frequência de oscilação ao redor de re.
Dê suas respostas em termos de M, m, L, G.
Passo 1
Ó, da equação que o problema nos deu para a energia, podemos tirar :
Que é a energia potencial.
Lembrando lá do cálculo: sempre que a gente quer achar o mínimo ou máximo de alguma coisa, é só derivar e igualar a zero. Então:
Passo 2
A força resultante no cara vai ser:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Vamos usar , como o problema pediu, então . Trocando:
Observação:
Porque é constante!
Passo 3
Dá uma olhada na Matemática que vai rolar aqui:
Da mesma forma:
Vamos trocar agora:
Substituindo , vai ficar:
Passo 4
Agora que vem o pulo do gato! Vou fazer uma aproximação de , para . No caso, u vai ser igual a . Então:
Trocando lá:
Trocando de novo o valor de :
Passando tudo pra um lado só:
Chegamos então à EDO do movimento.
Passo 5
Comparando com a equação do movimento harmônico:
Daí tiramos que . Então:
Ele tá pedindo a frequência de oscilação. Felizmente, temos uma fórmula que relaciona a frequência de oscilação com a frequência angular :
Substituindo:
Resposta
a)
b)
c)