Um satélite de massa igual a move-se, inicialmente, numa órbita aproximadamente circular a acima da superfície da Terra. Por várias razões, o satélite perde energia mecânica à taxa média de por revolução orbital. Adotando a aproximação razoável de que a trajetória seja “um círculo cujo raio diminui lentamente”, determine a distância do satélite à superfície da Terra após a revolução orbital.
Dados:
Constante gravitacional:
Raio da Terra:
Massa da Terra:
Passo 1
Aqui temos um satélite em órbita a acima da superfície da Terra.
Esse satélite perde um valor de a cada volta que ele completa na órbita, ou seja, após a volta, a energia mecânica do satélite vai ter diminuido em:
Queremos saber a qual distância o satélite vai estar após perder esse valor de energia.
Então, vamos partir exatamente dessa variação de energia mecânica para encontrar a distância na qual o satélite está orbitando.
Passo 2
A energia mecânica é dada pela soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética :
Passo 3
Mas podemos encontrar uma expressão da velocidade orbital em função da distância . Basta igualarmos a força gravitacional com a força centrípeta:
Passo 4
Substituindo esse valor da velocidade na expressão de enrgia mecânica, temos:
Então, achamos aquela expressão bastante usada para a energia mecânica em função da distância :
Passo 5
Agora, vamos voltar à variação da energia mecânica:
Passo 6
Devemos prestar atenção às distâncias .
A distância é dada pela soma do raio da Terra com a altura a partir da superfície da Terra. Então, temos que:
O raio inicial será:
Passo 7
Substituindo isso na nossa expressão, temos:
Aplicando os valores, temos:
Isolando o , temos:
Passo 8
Por último, vamos achar a altura a partir da superfície da Terra:
Ou seja, a altura final do satélite a partir da superfície da Terra é de: