Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

Essa é uma EDO de Cauchy-Euler clássica. Perceba que ela está nesse formato aqui:

x 2 y ' ' + α y ' + β y = 0

E sabemos que nesse caso basta que encontremos as raízes da equação

r 2 + α - 1 r + β = 0

Passo 2

Então, na no caso da nossa EDO

α = - 3   e   β = 7

Então precisamos achar as raízes de

r 2 - 4 r + 7 = 0

Que são

∆ = 16 - 28 = - 12

r = 4 ± - 12 2

r = 2 ± 3 i    

Passo 3

Uma vez encontradas as raízes, a solução da EDO para nosso caso, onde ∆ < 0   é

y x = x λ C 1 cos ⁡ μ ln ⁡ x + C 2 sen ⁡ μ ln ⁡ x

Onde λ   e   μ vem de

r = λ ± μ

No nosso caso

λ = 2   e   μ = 3

Então a solução fica

y x = x 2 C 1 cos ⁡ 3 ln ⁡ x   + C 2 sen ⁡ 3 ln ⁡ x

y x = C 1 x 2 cos ⁡ 3 ln ⁡ x   + C 2 x 2 sen ⁡ 3 ln ⁡ x

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t . x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 x
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. 4 x 2 y ' ' + y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0