Encontre todos os valores de para os quais todas as soluções de tendem a zero quando .

Supondo que

1. Encontrar o intervalo de

Então, estamos analisando esses valores de , que fazem ser positivo.

2. Encontrar a solução geral de

Nesse caso, temos duas raízes reais distintas:

E as soluções da EDO são do tipo

3. Encontrar que faz

O problema pede que as soluções tendam a zero quando , não é? Em outras palavras, queremos:

Isso ocorre quando for elevado a um número positivo, ou seja, quando e .

Caso contrário, se for elevado a uma raiz negativa, como por exemplo, temos . Quando , isso tende a infinito. Se a raiz for nula, temos e a solução continua sem tender para zero.

Portanto, precisamos de raízes positivas:

Para não complicar muito as coisas, já vamos considerar valores de positivos, que é o caso 1. Sendo assim, a primeira inequação é satisfeita para qualquer positivo, portanto, para . Falta, então, analisar a segunda.

Da mesma forma que na primeira, temos que ter , portanto, , esse é o valor máximo que assume. Mas essa inequação não é satisfeita para qualquer , veja que, para termos positiva precisamos de:

Se essa raiz for maior que , teremos , a raiz fica negativa. Certo? Então, a solução da segunda inequação é .

Como nós precisamos que E sejam positivas temos que fazer a interseção entre as soluções das duas inequações, que é

Supondo que

1. Encontrar o intervalo de

Então, agora estamos analisando apenas esses valores de , que fazem ser igual a zero.

2. Encontrar a solução geral de

Nesse caso, encontramos a raiz dupla da equação característica:

As soluções da Equação de Euler são do tipo:

3. Encontrar que faz

O problema pede que as soluções tendam a zero quando , ou seja:

Novamente, isso deve ocorrer quando for elevado a um número positivo, ou seja, quando , pelo mesmo motivo que vimos no caso anterior. Veja que aparece um limite do tipo . Como a gente sabe que , a gente tem que dar uma olhada com mais calma nesse limite que apareceu, pra ver se ele realmente vai pra zero.

Supondo que

Caímos numa indeterminação do tipo . Usando nosso velho amigo L’Hospital:

O limite vai pra zero! Queremos, então:

Isso é sempre verdade, logo, sempre que for zero, o problema é satisfeito.

4. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Para o caso 2, temos então a seguinte solução:

Supondo que

1. Encontrar o intervalo de
2. Encontrar a solução geral de

Nessa região temos negativo, o que nos leva a duas raízes complexas para a equação característica:

Veja que, para colocar em evidência, tivemos que mudar o sinal do que está dentro da raiz!

As soluções da Equação de Euler são do tipo:

Já sabemos que .

3. Encontrar que faz

O problema pede que as soluções tendam a zero quando , ou seja:

Bom, esse limite já dá zero, não é? Temos:

Para qualquer valor de (e, portanto, de ).

4. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Estamos analisando o caso em que , não é? Então, nosso problema é satisfeito no caso 3 para:

A resposta do problema é a junção de todas as soluções que encontramos para os três casos de valores de , ou seja:

A soma disso tudo dá