UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV3 - 2022.1 - Prof° Luiz Fernando, Questão 4.
Questão 4 - Sabe-se que é uma solução da EDO no intervalo . Determine um conjunto fundamental de soluções para esta equação no intervalo .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos que obter um conjunto fundamental de soluções para a EDO dada por
Mas sabemos que é uma solução para a EDO no intervalo .
E como obtemos um conjunto fundamental? 🤔🤔
A ideia aqui é obter soluções da equação e calcular o Wronskiano dessas soluções até obter um conjunto linearmente independente, ou seja, .
Obtendo um conjunto de soluções que resulte em , encontramos um conjunto fundamental de soluções.
Entendeu? Bora lá! 🤩
Passo 2
A nossa EDO é dada por , ou seja, uma equação de Euler devido a associação de com , com e estar sozinho (sem associado).
Para esse caso, a solução dessa EDO é dada por
Onde é obtido pelas raízes de
Se , e , então
Usando Bhaskara, vamos obter
Portanto e são iguais e nesse caso, multiplicamos um termo da solução por , ou seja.
Vamos verificar se esse conjunto é linearmente dependente! Desmembrando essa solução, temos que
O Wronskiano é obtido a partir do determinante das soluções e e suas derivadas de primeira ordem, ou seja
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Vamos obter as derivadas de e !
Começando por pelo método de derivação polinomial, temos
Já a derivada de é obtida pela regra do produto
Assim, o Wronskiano é dado como
Vemos que que obtemos é diferente de , portanto, e são linearmente independentes, portanto, fazem parte do conjunto fundamental de soluções da EDO!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
