1. Encontre a solução geral da equação

No intervalo .

2. Seja uma solução da equação

Definida num intervalo . Fazendo , verifique que a função

Satisfaz uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Como , temos uma raiz dupla , as soluções da EDO são, então:

Substituindo o valor de :

Letra b)

Beleza, agora precisamos mostrar que a função , que é solução da Equação de Euler também satisfaz uma EDO de coeficientes constantes. Como diabos vamos fazer isso?

Primeiro vamos entender o que o problema nos deu. Ele disse que fazendo

Encontramos a solução

Para a Equação de Euler. Mas não era função de ? Sim! Mas fazendo a solução geral se torna . Substituímos por , ok?

Certo, agora, vamos fazer o seguinte: não é solução da Equação de Euler? Significa que podemos substituir seu valor na EDO. Mas peraí, temos o seguinte:

Como a solução geral é função de , as derivadas que estão na EDO são em relação à sua variável, . Mas queremos substituir a solução em função da variável , não é? E agora?

Agora vamos desenterrar, dos Cálculos passados, a famosa Regra da Cadeia. Não lembra dela? É o seguinte:

Ou seja, mesmo sem ter a expressão de em função de , podemos calcular sua derivada indiretamente dessa forma! Como

Temos

Ok? Isso nos dá:

Lembre-se de que queremos tudo em função de , não de !

Agora temos outro problema: esse maldito , precisamos escrever isso em derivada de , já que a nossa função contém a variável , não . Beleza, temos

Aplicando a Regra da Cadeia de novo:

Onde

Do passo anterior, temos que

O que nos dá o seguinte:

Agora temos que resolver isso aí

Agora vamos substituir isso tudo que encontramos e ver no que dá:

E agora? É exatamente isso que o problema queria: substituímos na Equação de Euler e suas derivadas e encontramos uma EDO do segundo grau de coeficientes constantes (1, e ).

Como a gente sabia que ía chegar nisso? Não sabíamos! Nesse tipo de questão você tem que usar os dados que você tem e ver o que encontra, não tem muito jeito!