Encontre os valores de de modo que a solução do problema de valor inicial:
seja limitada quando .
Passo 1
Olhando para a EDO, vemos que é uma equação de Euler, porque ela tem essa cara:
com os coeficientes: e . Vamos achar a solução dela!
Aplicando à equação a solução da forma , você vai achar esta equação característica
Resolvendo essa equação do segundo grau
Passo 2
Como temos raízes reais e diferentes, a solução tem essa cara
Passo 3
Queremos que . Onde é um valor. Isso que significa a função ser limitada em .
Vamos substituir nossa solução ali:
Como . A única maneira de atendermos à nossa condição é... !
Porque pra qualquer outro valor da constante, a solução vai pra infinito, sacou?
Passo 4
Resolvendo o PVI...
Vamos considerar . Aí a nossa solução fica:
Usamos que , vamos definir
Agora sim, para