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Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Considere a seguinte família de equações de Euler:

1                 16 x 2 y ' ' x + 8 x y ' x + y x = k ,             x > 0

Onde k é uma constante real.

  1. Encontre a solução da equação homogênea ( k = 0 ) correspondente a ( 1 ) que satisfaz as seguintes condições:

    2. 2                       y 1 = 1           e           y e = 0

    onde e   =   2 ,   718 . . . . . é a base do logaritmo neperiano.

  2. Seja y ( x ) uma solução qualquer de ( 1 ) com k = 1 . Calcule o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função w x = y x - 1 .

Passo 1

Letra a)

Temos o seguinte:

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 0

Precisamos deixar x 2 y ' ' sozinho, então

x 2 y ' ' + 1 2 x y ' + 1 16 y = 0

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = 1 / 2   ,   β = 1 / 16 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 1 2 - 1 r + 1 16 = 0

r 2 - 1 2 r + 1 16 = 0

Resolvendo essa equação

Δ = 0

r = - - 1 2 ± - 1 2 2 - 4 1 1 16 2 = - - 1 2 ± 1 4 - 1 4 2 = 1 2 ± 0 2 = 1 4

Passo 2

Como ∆ = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x

Substituindo o valor de r :

y x = a 1 x 1 / 4 + a 2 x 1 / 4 ln ⁡ x

Passo 3

Usando as condições

y 1 = 1  

y e = 0

Temos

1 = a 1 1 1 / 4 + a 2 1 1 / 4 ln ⁡ 1

a 1 = 1

0 = a 1 e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4 ln ⁡ e

0 = e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4

a 2 = - 1

Passo 4

Substituindo na expressão de y ( x ) :

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

Passo 5

Letra b)

Com k = 1 , a equação passa a ser

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 1

Fazendo

w = y - 1

Temos

16 x 2 w ' ' + 8 x w ' + w = 0

E a solução dessa EDO nós já temos do item anterior:

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

Fazendo, então, w = y - 1 :

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

y x - 1 = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x + 1

Passo 6

Vamos calcular o limite disso aí entao

lim x → 0 + ⁡ y ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 1 4 - x 1 4 ln ⁡ x + 1

= lim x → 0 + ⁡ x 1 4 - lim x → 0 + ⁡ x 1 4 ln ⁡ x + 1 =

= - lim x → 0 + ⁡ x 1 4 ln ⁡ x + 1 =

Aplicando L’Hopital

= - lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 / 4 + 1 =

= - lim x → 0 + ⁡ 1 / x - 1 / 4 x - 5 / 4 + 1 =

= - 4 lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

  1. y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x
  2. 1

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