Resolva PVI.
Passo 1
Temos aqui um multiplicando a segunda derivada e multiplicando a primeira, então temos uma equação na forma da equação de Euler. Então vamos supor solução . Derivando, temos:
Substituindo, temos:
Passo 2
Agora podemos deixar em evidência:
Como queremos que a solução não seja trivial, precisamos que:
Ou seja,
E teremos o caso em que é complexo (). De forma geral, para , a solução será:
Assim mesmo, com aquele log aparecendo. Comparando com o nosso caso, temos e , então:
Passo 3
Acabou? Não! Como temos um PVI, usamos as outras condições para encontrar as constantes. Sabemos que:
Assim, temos:
Para a aplicar
derivamos usando a regra da cadeia:
Logo, vamos ter:
Show, então a solução final vai ser: