Considere a seguinte família de equações de Euler:
Onde é uma constante real.
- Encontre a solução da equação homogênea correspondente a que satisfaz as seguintes condições:
- Seja uma solução qualquer de com . Calcule o valor de .
onde é a base do logaritmo neperiano.
Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função .
Passo 1
Letra a)
Temos o seguinte:
Precisamos deixar sozinhos, então
Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes
Se procurarmos soluções do tipo , temos então a seguinte equação característica:
Resolvendo essa equação
Passo 2
Como , temos uma raiz dupla , as soluções da EDO são, então:
Substituindo o valor de :
Passo 3
Usando as condições
Temos
Passo 4
Substituindo na expressão de :
Passo 5
Letra b)
Com , a equação passa a ser
Fazendo
Temos
E a solução dessa EDO nós já temos do item anterior:
Fazendo, então, :
Passo 6
Vamos calcular o limite disso aí entao
Aplicando L’Hopital