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Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Passo 1

Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler. Nessas EDOs, resolvemos utilizando a substituição

y x = x r

Para isso precisamos encontrar as derivadas

y ' x = r x r - 1

y ' ' x = r r - 1 x r - 2

y ' ' ' x = r r - 1 r - 2 x r - 3

y i v ( x ) = r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4

Passo 2

Substituindo na equação ficamos com

x 4 r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4 + 6 x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 + 8 x 2 r r - 1 x r - 2 + 2 x r x r - 1 = 0

r r - 1 r - 2 r - 3 x r + 6 r r - 1 r - 2 x r + 8 r r - 1 x r + 2 r x r = 0

Colocando x r em evidência

r r - 1 r - 2 r - 3 + 6 r r - 1 r - 2 + 8 r r - 1 + 2 r = 0

Agora precisamos encontrar as raízes dessa equação

r 2 - r r 2 - 5 r + 6 + 6 r 2 - 6 r r - 2 + 8 r 2 - 8 r + 2 r = 0

r 4 - 5 r 3 + 6 r 2 - r 3 + 5 r 2 - 6 r + 6 r 3 - 12 r 2 - 6 r 2 + 12 r + 8 r 2 - 8 r + 2 r = 0

r 4 + r 2 = 0

r 2 r 2 + 1 = 0

Logo as raízes são

r 1 = r 2 = 0 ;   r 3 = + i   e   r 4 = - i

Passo 3

Agora só falta substituir as raízes na nossa solução geral. Atenção que aqui temos 2 casos! Precisamos compor a resposta com a solução para quando Δ = 0   e para quando Δ < 0 .

y x = C 1 x r 1 + C 2 x r 1 ln ⁡ x + x λ C 3 cos ⁡ μ ln ⁡ x + C 4 sen ⁡ μ ln ⁡ x  

Como λ = 0 e μ = 1

Ficamos com

y x = C 1 + C 2 ln ⁡ x + C 3 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + C 4 sen ⁡ ln ⁡ x

Resposta

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