Determine a solução da equação diferencial linear de 2ª Ordem não-homogênea com coeficientes lineares, tomando ,
Passo 1
Opa, temos um PVI. Aqui, vamos usar a nossa queridíssima transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza?
Para isso, precisamos aplicar transformada de Laplace em toda a nossa EDO. Antes de qualquer coisa, vamos dividir a equação toda por . Como assim né? Repara que tem múltiplo de 2 em todo mundo, então podemos fazer isso para simplificar a nossa continha
Isso vai facilitar de leve nossas contas 😉
Vamos separar aqui por partes, fazendo a transformada de cada parte do lado esquerdo da equação.
Começando com:
Olhando a nossa tabela na prova:
Substituindo os valores iniciais
Agora
Mas
Substituindo o valor inicial, temos
Agora só temos que derivar isso em relação a
Juntando isso tudo, o lado direito da nossa equação vai ficar
Para deixar as coisas mais fáceis e bonitinhas, vamos chamar a transformada de de , então temos
Juntando o com
Passo 2
Aplicando agora a transformada no lado direito, temos
E a nossa EDO vai ficar
Olha que lega, a transformada deu uma EDO também
Fique tranquilo, vamos fazer juntos aqui a nossa EDO. Ela é uma EDO de 1ª ordem linear, conseguirmos fazer isso juntos. Vamos lá
Passo 3
Vamos resolver a EDO agora
Primeiro temos que dividir tudo por para deixar o sozinho
Arrumando isso, vamos ter
Vamos começar identificando e . O é quem multiplica o e o é a função do lado direito.
Passo 4
Agora, vamos achar a integral de
Passo 5
Agora vamos ao Fator integrante
Podemos arrumar esse termo
Lembrando das propriedades de Log, vamos ter
Assim:
Passo 6
Agora, temos que cálculo a integral
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição
Assim, nossa integral fica
Voltando para
Passo 7
A nossa solução de vai ser
Substituindo os valores que achamos
Opa, tem um ali, precisamos achar esse . Mas não tem nenhuuuuma informação a mais na questão. O que vamos fazer?
Repara que estamos achando a transformada de Laplace de . A transformada de qualquer função precisa ir para quando , ou seja
Se fizermos esse limite, vamos ter
Temos uma indeterminação ali no meio. Para evitar que ela apareça, vamos precisar ter . Porque assim some aquele problema já que isso anula toda a segunda parcela da soma.
Assim:
Passo 8
Ufa, estamos terminando.
Olhando a nossa tabela, vemos que
Comparando com o nosso , temos
Como temos só o , vamos encontrar
Que na verdade é
Assim