UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, Avaliações Moodle - Prova 2022.2, Questão 4
Seja a solução da EDO satisfazendo e . Então, é igual a:
Escolha uma opção:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma equação de Euler de segunda ordem, que tem a forma geral:
Repare que o grau do polinômio que multiplica a derivada é igual ao grau da própria derivada nesses casos. Para encontrar a solução dessa equação homogênea utilizamos um polinômio característico ou equação indicial, que tem o formato:
Utilizando essa equação, nós vamos encontrar as raízes da equação indicial. Se nossas raízes forem reais e distintas, temos uma solução da forma:
Se elas forem reais e iguais ou duas raízes complexas nós recaímos em soluções diferentes. Mas para essa questão, vamos focar nesse caso. Em seguida, vamos encontrar o valor das constantes e através das condições de contorno e que o enunciado nos deu, para finalmente obter da solução geral.
Vamos lá!
Passo 2
Repare que para a nossa EDO , e . Colocando na forma , temos:
Encontrando as raízes da equação do segundo grau usando Bhaskara, temos:
Então, as raízes da equação indicial são:
Que são duas raízes reais e distintas. Então, nossa solução tem a forma:
Substituindo e :
Passo 3
Para encontrar das constantes e vamos usar as condições de contorno e . Substituindo e na nossa solução, temos:
Derivando agora :
Substituindo , temos:
Resolvendo o sistema:
Encontramos:
Então, nossa solução geral será:
Substituindo , temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
e)