IME, Cálculo 3, 2021, VF, Q3A
Considere a seguinte família de equações de Euler abaixo, onde é uma constante real.
- Encontre a solução da equação homogênea correspondente que satisfaz as condições e , onde é a base do logaritmo neperiano.
- Seja uma solução qualquer da EDO, com . Encontre o valor de .
Passo 1
Fala pessoal! Equações de Euler são aquelas na forma , para as quais propomos solução polinomial e substituímos para determinar . Encontradas as soluções devemos verificar se são L.I. e, depois disso, aplicaremos as condições para amarrar o problema. Acompanhe a equação homogênea associada:
Assim, temos que é solução da EDO.
Passo 2
Pelo método da redução de ordem, busquemos uma segunda solução da forma :
Como , multiplicamos o que sobrou da equação por sem adicionar raízes:
Assim, a menos das constantes, para , temos por solução:
Passo 3
Para verificar se as soluções são L.I., considere o Wronskiano:
Tirando os fatores comuns das linhas:
Como para , as soluções formam um conjunto fundamental de soluções tais que a solução geral é dada por:
Passo 4
Aplicando as condições, determinaremos as constantes :
Logo, a solução da equação homogênea associada com as condições impostas é dada por: