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Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

IME, Cálculo 3, 2021, VF, Q3B

Considere a seguinte família de equações de Euler abaixo, onde k é uma constante real.

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = k ,       x > 0

  1. Encontre a solução da equação homogênea correspondente que satisfaz as condições y 1 = 1 e y e = 0 , onde e é a base do logaritmo neperiano.

  2. Seja y ( x ) uma solução qualquer da EDO, com k = 1 . Encontre o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Passo 1

Fala pessoal! Para resolver a equação inomogênea:

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 1

Precisaremos da solução geral y h   da homogênea associada encontrada no item ( a ) e uma solução particular y p da equação inomogênea. Observe que y p = 1 atende, pois:

16 x 2 ( 1 ) ' ' + 8 x ( 1 ) ' + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Dessa forma, a solução geral da EDO inomogênea é dada por:

y = y h + y p

y = c 1 x 1 4 + c 2 x 1 4 ln ⁡ x + 1

Passo 2

Agora para uma solução arbitrária (quaisquer c 1 ,   c 2 ) devemos determinar o limite:

lim x → 0 + ⁡ y ( x ) = lim x → 0 + ⁡ c 1 x 1 4 + c 2 x 1 4 ln ⁡ x + 1 = c 1 ⋅ 0 + c 2 l i m x → 0 + ln ⁡ x 1 x 1 4   + 1    

Aplicando L’Hôpital:

lim x → 0 + ⁡ y ( x ) = 1 + c 2 l i m x → 0 + 1 x - 1 4 x 5 4 = 1 - 4 c 2 l i m x → 0 + x 1 4 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ y ( x ) = 1

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