Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

Enunciado

Quando não conseguimos enquadrar em problemas como coeficientes constantes ou equação de Euler é hora de um pouco de matemágica. Reescrevendo a EDO:

Seja , temos pois:

A homogênea associada é tal que:

A qual é uma equação de Euler e, portanto, configura solução :

Assim, é solução geral da equação homogênea. Aplicando o método dos coeficientes a determinar uma solução particular possível é :

Assim, a solução geral da EDO em é:

Contudo, temos:

A homogênea associada possui coeficientes constantes, tal que busquemos soluções :

Logo, a solução geral da EDO homogênea é: Novamente, chutaremos uma solução particular para a EDO inomogênea :

Pela identidade polinomial, ficamos com:

Logo, .

Assim, a solução geral da EDO é:

Isto é,