Em uma competição de uma olimpíada de inverno um esquiador de massa deve descer uma pista de neve em formato de de círculo de raio , como ilustrado ao lado. Sabendo que ele parte do repouso e que a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura é igual ao dobro da aceleração da gravidade , responda os itens abaixo em função de , e . Considere o atrito desprezível.

a) Faça um diagrama de corpo livre representando as forças que agem no esquiador, quando ele está à meia altura da pista.

b) Nesta posição, calcule o módulo da velocidade do esquiador e direção que ela faz com eixo vertical.

c) Ainda nesta posição, calcule o módulo da aceleração resultante.

d) Agora o esquiador chega no final da pista. Calcule nesta posição a força normal que a neve faz sobre ele.

b)

O problema nos disse que: “a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura é igual ao dobro da aceleração da gravidade ”. Escrevendo isso matematicamente, temos:

A velocidade do esquiador é sempre tangente a trajetória. Como queremos saber o ângulo que ela faz com a vertical e já temos a força peso como referência de vertical, basta saber o ângulo que a velocidade faz com a força peso. Pela figura, vemos que esse ângulo é justamente .

Portanto, a velocidade faz um ângulo de com a direção vertical.

c)

Temos duas acelerações, a centrípeta e a tangencial. Vamos calcular elas primeiro para depois calcular a aceleração resultante.

A aceleração centrípeta tem a fórmula:

Substituindo os dados:

Agora a aceleração tangencial é justamente a parcela da gravidade que influencia no movimento do esquiador. Ou seja:

Agora é só usar a fórmula do módulo de um vetor para encontrar o módulo da aceleração resultante:

d)

Usando novamente o enunciado: “a razão entre o quadrado da sua velocidade e a altura é igual ao dobro da aceleração da gravidade ”. Só que agora a altura vale .

Aplicando a segunda lei de Newton na vertical, sabemos que a aceleração produzida tem que ser a aceleração centrípeta:

Substituindo o que encontramos: