Um corpo de de massa se desloca sobre um trilho horizontal plano no sentido positivo do eixo . A força resultante que está agindo sobre o corpo tem sua componente ao longo do eixo positivo dada por com em metros e em Newtons. O corpo parte do repouso na posição e se move até entrar novamente em repouso ao final do percurso.
a) Calcule como varia o trabalho realizado pela força resultante sobre o corpo em função da sua posição .
b) Sabendo que a força ao longo do percurso passa de positiva para negativa, encontre o valor do trabalho na posição da transição de sinal da força.
c) Qual é o valor do trabalho total realizado sobre o corpo ao longo de todo o percurso?
d) Qual é a posição final em que o corpo entra em repouso novamente?
Passo 1
Na letra (a), queremos o trabalho dessa força em função do deslocamento.
Quando temos uma força constante sendo aplicada num corpo, podemos calcular o trabalho dessa força com:
Se essa força estiver na mesma cireção do deslocamento temos:
Mas, e se a força variar?
Bom, aí nós temos que calcular em cada deslocamentozinho o trabalho que a força naquela posição realiza.
E para somar todos esses trabalhozinhos ao longo de um deslocamento, nós usamos a integral:
Além disso, temos que o corpo parte da posição . Então, esse será o limite inicial da integral.
Mas e a posição final?
Geralmente o limite de cima indica a posição final, né?
Mas não queremos uma posição final específica. Queremos uma posição qualquer .
Assim, vamos colocar o próprio no limite de cima da integral, e teremos uma função que calcular o trabalho dessa força para qualquer que seja a posição final que quisermos calcular.
Passo 2
Agora, vamos substituir a expressão da força e integrar.
Aplicando os valores em , temos:
Passo 3
Na letra (b), ele diz que a força começa positiva e passa a ser negativa.
Nesse ponto de transição, a força vale zero, certo?
Isso mesmo!
Queremos descobrir qual o trabalho realizado até esse ponto.
Passo 4
Então, primeiro vamos descobrir em qual posição isso acontece.
Colocando em evidência, temos um produto resultando emzero:
Ou seja, necessáriamente um dos dois termos dá zero:
Ou, então:
Como não queremos o ponto inicial, vamos utilizar o .
Passo 5
Agora que achamos a posição na qual a força troca de positiva para negativa, basta aplicar esse valor na expressão que achamos para calcular o trabalho :
Passo 6
Na letra (c), queremos o valor do trabalho ao longo de todo o percurso.
Bom, o percurso termina quando o corpo volta ao repouso.
Ou seja, quando sua velocidade final chega a zero:
Como relacionamos trabalho com velocidade?
Existe aquele Teorema Trabalho-Energia Cinética:
Onde o trabalho da força resultante é igual a variação de energia cinética.
Bom então, o trabalho será igual a:
Mas o corpo saiu do repouso e voltou ao respouso...
Ou seja, tanto sua velocidade inicial quanto final são zero. Assim, as energias cinéticas incial e final também são nulas:
Logo:
A ideia aqui é que o corpo estava em repouso, e quando a força começou a realizar um trabalho positivo, ele começou a ganhar velocidade.
Depois que a força inverteu de sentido e começou a realizar um trabalho negativo, ele começou a perder velocidade até parar.
Mas o trabalho total deu zero justamente porque teve que retirar toda a energia que ela mesma forneceu ao corpo, ou seja, o saldo foi zero.
Passo 7
Na letra (d), queremos saber em que posição isso acontece (o corpo volta ao repouso).
Nesse item, simplesmente vamos usar a ideia do item anterior.
Nós temos uma expressão para o trabalho total até uma certa posição :
Se o trabalho total até a posição que o corpo entra em repouso é nulo, basta aplicarmos esse valor na expressão e acharmos a posição:
Colocando o em evidência, temos:
Novamente, temos um produto resultando em zero, ou seja:
Ou então:
Como a posição inicial é o . O corpo voltará ao repouso quando ele atingir o segundo ponto .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)