USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 2
Considere a função
É correto afirmar que:
a) é contínua em , mas não é diferenciável em .
b) é diferenciável em , mas não é de classe em .
c) é de classe em , mas não é de classe em .
d) é de classe em .
e) não é contínua em .
Passo 1
Fala galera, vamos resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI? Essa questão é sobre derivadas parciais e diferenciabilidade!
O enunciado forneceu uma função :
Para , a função é infinitamente diferenciável, podemos aplicar as regras de derivação quantas vezes quisermos para achar todas as derivadas parciais de todas as ordens. Portanto, nesses pontos a função é de classe . O problema está no ponto de colagem: !
Vamos testar primeiro se a função é contínua nesse ponto:
Note que é limitada pois . Como e esse termo é limitado, pelo teorema do confronto, sempre que temos um produto de uma função que tende a zero por outra limitada, o limite tende a zero. Assim,
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, vemos que ela é contínua nesse ponto. Assim, como ela é de classe nos demais pontos (e, portanto, contínua), ela é contínua em .
Passo 2
Agora que sabemos que a função é contínua, o próximo passo é ver se ela é diferenciável. Para isso, vamos olhar especialmente para o ponto , pois sabemos que nos demais pontos ela é diferenciável.
Sabemos que uma função é diferenciável em se o limite a seguir existir
No nosso caso, temos
Da definição da função, temos que . Precisamos saber quanto valem as derivadas parciais!
Passo 3
Para uma função , as derivadas parciais em um ponto são dadas por
Com isso,
Da definição da função, sabemos que . Além disso,
Portanto,
Passo 4
Agora que já sabemos as derivadas parciais e que , podemos escrever o limitão como
Da definição da função, temos que
Assim,
Temos que verificar se ele limite existe ou não. Para isso, vamos testar por alguns caminhos diferentes.
Primeiro pela reta com . Fazendo , temos
Portanto, por esse caminho o limite é nulo. Vamos tentar agora pelo caminho , com :
Note que
Quando :
Já quando :
Assim,
Portanto, vemos que pelo caminho , o limite nem existe pois os limites laterais são diferentes. De qualquer forma, esses limites laterais ainda são diferentes do limite pelo caminho . Como os limites em caminhos diferentes são diferentes, podemos afirmar que o limite não existe!
Como o limite não existe, podemos afirmar que a função não é diferenciável em . Com isso, a alternativa correta é a alternativa A: a função é contínua em , mas não é diferenciável em todos os pontos pois em está o problema!
Ufa, eu sei que é chato fazer tudo isso, mas agradeça que parou por aqui, pois se ela fosse diferenciável você ia ter que testar se ela era de classe , ...
Resposta
Alternativa A.