Considere a função

Definida em

1. A função é contínua na origem?
2. Se ela não for contínua na origem podemos estender de modo que ela seja contínua em todo ?
3. Se tal extensão existe é diferenciável em ?

Agora a pergunta que a questão nos faz é:

SERÁ QUE existe algum valor para de modo que a gente possa fazer e assim dizer que é contínua na origem?

Isso porque fora da origem ela já é contínua, já que é a composição de funções contínuas, que são funções polinomiais.

Então vamos lá tentar calcular o limite de quando .

Nosso limite é

Mas podemos reescrever esse negócio como

E assim isso já começa a cheirar a teorema do anulamento, ou seje, a gente já sabe que limite de vai dar zero e essa outra função aí tem cara de que dá pra limitar. Então vamos tentar fazer isso.

Temos no denominador um termo que aparece bastante, que é . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:

Agora vamos dividir tudo por :

OPA, parece que limitamos esse danado, não é mesmo?!

Então temos que

É

e

Conseguimos o que a gente queria: ficamos com o limite de algo cujo limite vai a zero vezes algo que é limitado. E pelo teorema do anulamento esse limite todinho dá zero! Assim,

Ou seja, podemos estender de modo que ela seja contínua em todo e para isso só precisamos fazer

Agora a questão quer saber se a nossa função que achamos é diferenciável no , ou seja, a função

Para ela ser diferenciável no ela precisa ser diferenciável para e para .

Para a função é diferenciável pois é composta por funções diferenciáveis: Polinômios.

Já para , precisamos ver se aquele limitão é igual a zero. Vamos lá.

Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de na origem. Como a função é definida por partes, vamos usar a definição:

Voltando ao limitão:

Ok, agora a gente precisa resolver esse limite chato aí.

Lembra de coordenadas polares? Então, elas vão nos ajudar nessa missão.

Isso porque é fácil lembrar que quando temos duas coisas ao quadrado sendo somadas, podemos substituir por , pois se fizermos

Temos que

Além disso, quando ,

Fazendo essa mudança no nosso limite, ficamos com:

Então, aconteceu que nosso limite ficou dependendo de , então ele não pode existir.

E se esse limitão da diferenciabilidade (acabei de inventar esse nome e achei que ficou bom, gostou?) não existe, significa que a nossa função não pode ser diferenciável em todo o porque ela não é diferenciável em .

SÓ UM OBS:

Você pode se perguntar: ué, mas o também era variável do limite, então deveria haver um valor para tender, tipo tem , certo?

Pois é, mas se fizéssemos

E

Veríamos que teria que existir 2 valores para o tender. E daí a gente já tira que nosso limite não poderia depender de . E como ele ficou dependendo de , ele não pode existir, ok?