Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Seja . Em que pontos de é diferenciável? Justifique!
Passo 1
Para ser diferenciável, então temos que encontrar as derivadas parciais dessa função, e jogar no limite abaixo, vendo se ele dá .
Como queremos saber em quais pontos do ela é diferenciável, vamos fazer as derivadas parciais e ver onde elas existem e são contínuas. Nesses pontos, a função com certeza é diferenciável.
Depois fazemos o limite aí de cima para os pontos onde as derivadas parciais não forem contínuas, e vemos quando ele vale . Os pontos que satisfizerem essa condição, serão aqueles nos quais a função é diferenciável, mesmo se as derivadas parciais não forem contínuas ;)
Passo 2
Partiu encontrar as derivadas parciais!
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia, tratando como constante. Derivamos a função cosseno, depois o argumento dela, :
E a derivada em relação a é:
Show! Nesse caso, essas derivadas são contínuas em todo o menos na origem (pelo termo que tem expoente negativo, não podemos mandar no denominador).
Logo, podemos garantir que a função é diferenciável em todo , exceto na origem, pois ainda não podemos afirmar nada sobre a diferenciabilidade no ponto .
Mas atenção: o fato de termos um ponto de descontinuidade nas derivadas parciais não exclui a possibilidade da função ser diferenciável! Enfim, não temos, nesse caso, como fugir do limite feio XD
Passo 3
Colocando o ponto problemático em relação a continuidade no limite da diferenciabilidade,
Aí temos um problema: quais são os valores das derivadas em ? Para saber isso, precisamos fazer a derivada pela definição do limite de derivada parcial:
Colocando o ponto que queremos saber a derivada, :
Como temos cosseno menos no numerador, é uma boa ideia multiplicar por cosseno mais . Aí teremos cosseno ao quadrado menos , que é o mesmo que seno ao quadrado!
Passo 4
Aí vem uma carteada que não da pra fugir... Se você observar, temos , que é o limite manjado, limitado, que dá (o fato de ser nao muda o limite, basta pensar em fazer substituição , ficando ).
Enfim, para aparecer esse limite aí, temos que mexer no denominador:
Veja que esse manejo é válido porque temos . Show? Agora vamos colocar esse quadrado do seno pra fora da fração, e passar o menos para fora também:
E aí está! O limite dá :D Isso significa que a derivada parcial em relação a no ponto é !
Passo 5
Ainda precisamos da derivada em relação a :/ Mas os cálculos são praticamente idênticos! Fazendo o limite que define a derivada parcial em relação a , no ponto , temos:
E agora chegamos numa equação exatamente igual a qual fizemos para o ! Tipo, exatamente igual mesmo, só muda o fato de que antes tínhamos onde tem ! Seguindo os mesmos passos, a coisa tem que dar .
E, então, !
Passo 6
Agora voltamos no limite da diferenciabilidade, com as nossas derivadas já calculadas :D
Opa! Está vendo o mesmo que eu? Não tá ficando muito parecido com o limite que fizemos para as derivadas em relação a e a ? Vamos fazer uma substituição aqui para não precisar carregar esse para todo lado? Se chamarmos , teremos:
Multiplicando em cima e em baixo por , teremos:
Aqui, assim como no cálculo das derivadas, queremos que no denominado tenha depois que mandarmos o quadrado para fora.
Então, temos que ter no denominador e no numerador, para compensar e quando dividir um pelo outro sobrar , que é o do denominador. Fica, então:
E, enfim, chegamos a conclusão de que a função é diferenciável na origem, pois o limite deu !
Resposta
A função é diferenciável em todos os pontos do