Derivadas Parciais e Vetor Gradiente
Mostre que a função
É diferenciável.
Passo 1
Para a função ser diferenciável, ela precisa ter derivadas parciais e o limite
Deve ser .
Vamos começar vendo que ela é diferenciável em qualquer ponto diferente de , depois olhamos o isso porque as derivadas parciais devem ser feitas pela definição sacou?
Passo 2
Antes de fazer a derivada vamos dar uma arrumada na função
As derivadas parciais vão ser
A derivada em relação a vai ser
Aqui não vamos precisar fazer a função erro, porque garantimos que as duas derivadas parciais vão ser contínuas em qualquer ponto fora , no não podemos afirmar nada, mas podemos dizer que como a função tem as derivadas parciais contínuas então ela é derivável fora de
Passo 3
Vamos agora as derivadas parciais em , lembra de definição? Feiosinha mas é o que temos
Já temos a primeira derivada, calma que ainda não acabou, respira fundo e vamos continuar, agora para a derivada em
Passo 4
Vamos agora para o erro, vulgo aquele limite loucão que fazemos
Temos um limite muito louco para resolver, vamos resolver ele com calma no próximo passo.
Passo 5
Podemos fazer:
Apenas multiplicamos o numerador e o denominador por . O limite fica:
Aplicando a distributiva no numerador, temos:
Passo 6
Vamos calcular:
Repara que
Elevando ao quadrado:
Dividindo tudo por , vamos ter:
Multiplicando tudo por , temos:
Caso 1:
Tomando o limite:
Caso 2:
Tomando o limite:
Em ambos os casos temos:
Passo 7
Vamos usar o mesmo raciocínio para encontrar . Repara que:
Elevando ao quadrado:
Dividindo tudo por , vamos ter:
Multiplicando tudo por , temos:
Caso 1:
Tomando o limite:
Caso 2:
Tomando o limite:
Em ambos os casos temos:
Passo 8
Logo, temos:
Como
Então a função é diferenciável em .
Passo 9
Vimos que fora de ela é diferenciável, e em ela é diferenciável, então ela é diferenciavel em qualquer ponto.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)