UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 20.
Seja
- Calcule e
- Mostre que é derivável em
- Mostre que não é contínua.
Passo 1
Bem, temos uma função definida por intervalos, então logo pensamos que precisamos usar a definição para calcular as derivadas parciais, né? Mas repara que nesse caso, ele não pediu para a gente calcular em um ponto específico, então podemos calcular as derivadas parciais em e .
Começando por .
Para :
Para :
Assim:
Passo 2
Calculando .
Para :
Para :
Assim
Passo 3
Para ser diferenciável em todo o , ela tem que ser diferenciável para e para .
Para a função é diferenciável pois é composta por funções diferenciáveis: Polinômios e a função trigonométrica seno.
Já para , precisamos ver se aquele limitão é igual a zero. Vamos lá.
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar o teorema do anulamento.
Observe que temos uma função limitada
Multiplicada por uma função cujo limite é zero.
Assim, temos que
Show! Como esse limite é igual a zero, então a função é diferenciável
Passo 5
Para verificar a continuidade da derivada parcial , fazemos a mesma coisa que fazemos para uma função .
Assim, vamos calcular o limite de e vê se ele é igual ou não a .
Ok, essa função é mucho loka e provavelmente você não tem ideia de como vai calcular esse limite né?
Vamos tentar aquela técnica de caminhos e vê no que dá.
Primeiro pelo caminho .
Pelo teorema do anulamento, temos que esse primeiro limite aí é zero.
Para esse segundo limite, temos uma função limitada multiplicada por uma função que o limite oscila entre e dependendo se tendemos a zero pela esquerda ou pela direita. Assim, esse limite fica oscilando entre e .
Dessa forma,
Como esse limite não existe, então, não pode ser contínua em .