Seja a função
(a) Mostre que é contínua em .
(b) Calcule e .
(c) A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
(a)
Pra ser contínua em , ela deve tender ao valor que ela assume em , certo?
E esse valor é ! Portanto, precisamos provar que:
Passo 2
É nessa hora que você olha a função e bate aquele desespero né? Realmente é uma função bem chata.
Mas repare que temos um seno no numerador: é um indício que poderíamos usar o Teorema do Sanduíche. Nesse caso, inclusive, vamos utilizar o limite fundamental do seno, aquele:
Mas primeiro vamos ter que dar uma boa manipulada na . Como temos , podemos multiplicar em cima e em baixo por ; assim vai aparecer o limite fundamental do seno :)
Ajeitando um pouco, isso dá:
E, pelo limite fundamental do seno:
Passo 3
Beleza, achamos o nosso limite do seno, então vamos deixar ele de lado por enquanto e nos concentrar na fração da direita, ok?
Bom, agora é respirar fundo e partir pras contas e manipulações algébricas, porque essa fração da direita ainda tá bem estranha!
Vamos começar botando numa raiz cúbica só nela, que tal? Já que temos duas no numerador. Desse jeito:
Dando mais uma ajeitada:
E aí? Isso adiantou alguma coisa? Na verdade, isso é ótimo!
Passo 4
Se você não ficou convencido, o que eu entendo, dá uma olhada:
- Do lado de fora da raiz cúbica, temos :
- Dentro da raiz cúbica, temos primeiro . E essa expressão é limitada!
- O outro termo que temos é , que também é limitado!
Dividindo tudo por :
Podemos novamente montar uma inequação:
E, divindo tudo por :
Passo 5
Portanto, quando fazemos
é como se tivéssemos:
Ou seja (pelo teorema do anulamento):
Show! Estamos quase acabando!
Passo 6
Vamos recapitular o que fizemos pra poder concluir:
Logo, é contínua em .
Ufa! Demorou, mas conseguimos!
Passo 7
(b)
Vamos calcular as derivadas parciais em ? Vamos começar com , fazendo esse limite:
O que na nossa função estranha vai dar:
Passo 8
Uma boa agora é usar o mesmo macete da letra (a), tentando cavar um limite fundamental do seno:
Vamos ajeitar um pouco:
Note que:
Show! Então vamos ter:
Logo:
Passo 9
Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a :
O que vai dar:
Portanto
Passo 10
(c)
Achamos as derivadas parciais em mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar a relação bizarra abaixo:
De uma certa forma, se esse limitão tender a , ele nos garante que a função vai ser diferenciável em todas as direções, e não só nas direções dos eixos e . Enfim, vamos pôr a mão na massa! O limite vai ficar:
Passo 11
A coisa tá com cara feia, mas pode ficar calmo!
Vamos primeiro assumir que o limite não dá . Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos? Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado!
Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como . Assim vamos ter:
Passo 12
Note que o limite passou a ser com uma só variável. Bem, agora vamos, como sempre manipular a expressão pra tentar cavar um limite fundamental do seno, o que vai dar
O que dá:
Passo 13
Vamos especificar ainda mais o caminho, fazendo
Assim, com o limite fundamental do seno, obtemos:
Por esse caminho o limite não dá e isso já é o suficiente para afirmarmos que o limite geral é diferente de :)
Depois de tanta conta, é com prazer que eu afirmo que a função não é diferenciável em .
Resposta
a) Bem, como tem que demonstrar não tem como eu botar a resposta aqui de maneira concisa haha
b) e
c) Não.