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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Verifique se a função abaixo é diferenciável em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = 0,0

Passo 1

Primeiramente, vamos testar a continuidade da função. Temos que testar se

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0 ,   0

Pra isso calculamos o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 = 0

E o seno é limitado:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ≤ 1

Logo, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 = 0 = f 0 ,   0

Portanto, a função é contínua na origem, o que não prova nada em relação à sua diferenciabilidade.

Passo 2

Então não tem jeito, precisamos achar as derivadas parciais e depois fazer o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

E ver se ele é zero.

Portanto, calculemos as derivadas parciais em ( 0,0 ) .

Passo 3

Como temos um ponto de indeterminação temos que fazer pela definição. Começando com a derivada em relação a x

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 0 2 sen ⁡ 1 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2

Aqui basta aplicar o teorema do anulamento que nem fizemos agora a pouco. Temos algo tendendo a zero multiplicando uma expressão limitada

lim x → 0 ⁡ x = 0 - 1 ≤ sen ⁡ 1 x 2 ≤ 1

Logo,

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 = 0 = ∂ f ∂ x 0 ,   0

Passo 4

Agora vamos para a derivada em relação a y

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f y , 0 - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 2 + y 2 sen ⁡ 1 0 2 + y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ y sen ⁡ 1 y 2

É um limite idêntico ao anterior então já sabemos que ele é 0

lim y → 0 ⁡ y sen ⁡ 1 y 2 = 0 = ∂ f ∂ y 0 ,   0

Passo 5

Agora que vimos que ele tem derivadas parciais precisamos achar

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 =

⇒ lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2

⇒ lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 sen ⁡ 1 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 sen ⁡ 1 h 2 + k 2

Passo 6

De novo, mesmo esquema pra calcular o limite. Aliás, esse é bem parecido com o que fizemos lá no começo.

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 = 0 - 1 ≤ sen ⁡ 1 h 2 + k 2 ≤ 1

Logo,

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 + k 2 sen ⁡ 1 h 2 + k 2 = 0

O limite loucão deu 0 , então a função é diferenciável em 0,0 .

Resposta

A função é diferenciável em 0,0 .

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