USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 4
Considere a função
É correto afirmar que:
a) é contínua em , mas não é diferenciável em .
b) é diferenciável em , mas não é de classe em .
c) é de classe em , mas não é de classe em .
d) é de classe em .
e) não é contínua em .
Passo 1
Oieeee pessoal, partiu resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI! Aqui vamos discutir um pouco sobre continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis!
O enunciado forneceu uma função :
Para , a função é infinitamente diferenciável, podemos aplicar as regras de derivação quantas vezes quisermos para achar todas as derivadas parciais de todas as ordens. Portanto, nesses pontos a função é de classe . O problema está no ponto de colagem: !
Vamos testar primeiro se a função é contínua nesse ponto:
Note que é limitada pois . Como e esse termo é limitado, pelo teorema do confronto, sempre que temos um produto de uma função que tende a zero por outra limitada, o limite tende a zero. Assim,
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, vemos que ela é contínua nesse ponto. Assim, como ela é de classe nos demais pontos (e, portanto, contínua), ela é contínua em .
Passo 2
Agora que sabemos que a função é contínua, o próximo passo é ver se ela é diferenciável. Para isso, vamos olhar especialmente para o ponto , pois sabemos que nos demais pontos ela é diferenciável.
Sabemos que uma função é diferenciável em se o limite a seguir existir
No nosso caso, temos
Da definição da função, temos que . Precisamos saber quanto valem as derivadas parciais, o que faremos no próximo passo.
Passo 3
Para uma função , as derivadas parciais em um ponto são dadas por
Com isso,
Da definição da função, sabemos que . Além disso,
Portanto,
Passo 4
Agora que já sabemos as derivadas parciais e que , o limite pode ser escrito como
Da definição da função, temos que
Assim,
Temos que verificar se ele limite existe ou não. Para isso, vamos testar por alguns caminhos diferentes.
Primeiro pela reta com . Fazendo , temos
Portanto, por esse caminho o limite é nulo. Vamos tentar agora pelo caminho , com :
Note que
Quando :
Já quando :
Assim,
Portanto, vemos que pelo caminho , o limite nem existe pois os limites laterais são diferentes. De qualquer forma, esses limites laterais ainda são diferentes do limite pelo caminho . Como os limites em caminhos diferentes são diferentes, podemos afirmar que o limite não existe!
Como o limite não existe, podemos afirmar que a função não é diferenciável em . Com isso, a alternativa correta é a alternativa A: a função é contínua em , mas não é diferenciável em todos os pontos.
Resposta
Alternativa A.