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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.2 , questão 3

Sejam f x , y = x 2 + y 2 + 2 x y e g x , y = x + y .

  1. Esboçe separadamente as curvas de nível de f e g .
  2. Considere a função h x , y = f x , y g x , y . Determine o Domínio de h .
  3. É possível estender a função h a uma função H : R 2 → R , de modo que H seja contínua?
  4. Caso a função H do item anterior exista, ela é diferenciável ?

Passo 1

  1. Vamos começar encontrando as curvas de nível de f . Temos:

    2. f x , y = k = x 2 + y 2 + 2 x y  

    Ajeitando:

    k = x + y 2

    x + y = ± k

    y = ± k - x

    Com k ≥ 0 . Nota-se que as curvas de nível da função f são retas.

    Graficamente:

    Fazendo o mesmo paraa função g , temos:

    g x , y = k = x + y

    y = k - x

    Com k   ∈ R . As curvas de nível da função g são retas.

    Graficamente:

    Passo 2

  2. Vamos expressar a função h x , y = x + y 2 x + y = x + y , com x + y ≠ 0

    3. Logo, o dompinio de h será:

    D = x , y ∈ R 2 x + y ≠ 0 }  

    Passo 3

  3. Temos de encontrar uma extensão que torne a função h x , y = x + y , com x + y ≠ 0 , contínua em todo R 2 . Percebemos que h x , y é uma função contínua em todo o seu domínio. Agora temos de defini-la em x + y = 0

    4. Vamos lembrar que para uma função ser contínua em um ponto x 0 , y 0 , devemos ter:

    lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ h x , y = h x 0 , y 0

    Então, vamos calcular esse limite para x 0 + y 0 = 0 . Vai ficar:

    lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ x + y = x 0 + y 0 = 0

    Logo, definimos a função:

    H x , y = x + y se x + y ≠ 0 0 se x + y = 0

    Passo 4

  4. Primeiro, vamos estudar a função no intervalo x + y ≠ 0 . As derivadas parciais são:

H x = 1

H y = 1

Como as derivadas parciais são contínuas, vamos ter a função H diferenciável para todo x + y ≠ 0

Passo 2

Agora, vamos analisar a diferenciabilidade da função quando x + y = 0 . Será necessário calcular esse limite, e verificar que seu valor é zero:

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

Calculando as derivadas parciais pela definição, quando x 0 = - y 0 :

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → - y 0 ⁡ f x , y 0 - f - y 0 , y 0 x - - y 0 = lim x → - y 0 ⁡ x + y 0 - - y 0 + y 0 x - - y 0 = 1

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f - y 0 , y 0 y - y 0 = lim y → y 0 ⁡ x 0 + y - - y 0 + y 0 y - - x 0 = 1

Substituindo:

lim h , k → 0,0 ⁡ f - y 0 + h , y 0 + k - f - y 0 , y 0 - h - k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - y 0 + h + y 0 + k - - y 0 + y 0 - h - k h 2 + k 2

Chegamos a:

lim h , k → 0,0 ⁡ 0 h 2 + k 2 = 0

Logo, a função é diferenciável em todo R 2

Resposta

  1. Curvas de nível:

    2. f x , y

    g x , y

  2. D = x , y ∈ R 2 x + y ≠ 0 }  
  3. H x , y = x + y se x + y ≠ 0 0 se x + y = 0
  4. Sim

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