UFPE, Cálculo 2, EF, 2014.2, questão 1
Considere a função
- Calcule e
- é diferenciável na origem? Justifique.
Passo 1
- Fazendo as derivadas parciais, temos:
- Para avaliar a diferenciabilidade, será necessário calcular:
Ambas estão definidas para e respectivamente.
Passo 2
Para os pontos onde elas não estão definidas, devemos tentar calcula-las pela definição. Vamos começar com a derivada parcial em relação a . Dividiremos em dois casos:
Caso 1:
Pela definição:
Esse limite não existe , logo a derivada parcial não existe para
Caso 2:
Pela definição:
Logo, no ponto a derivada parcial existe e é igual a zero.
Passo 3
Fazendo o mesmo para a derivada parcial em relação a vamos ter:
Caso 1:
Pela definição:
Esse limite não existe , logo a derivada parcial não existe para
Caso 2:
Pela definição:
Logo, no ponto a derivada parcial existe e é igual a zero.
Ou seja, temos:
Em relação a :
, se
, se
, se
Em relação a :
, se
, se
, se
Passo 4
Vai ficar:
Usando coordenadas polares:
Com
Substituindo:
Como o limite depende de , a função não é diferenciável na origem.
Resposta
a) Em relação a :
, se
, se
, se
Em relação a :
, se
, se
, se
b) A função não é diferenciável na origem