UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 5d
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em :
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Nas questões de diferenciabilidade precisamos que essas duas condições aqui sejam verdadeiras
- As derivadas parciais e aplicadas no ponto (no nosso caso ) devem existir
- E o limite do erro deve valer zero. Esse limite é:
Se essas duas condições forem satisfeitas então a função é diferenciável em !
Então precisamos seguir esses passos aqui:
- Calcular e as parciais
- Garantir que existam
- Jogar todos os resultados no limite e calcular! Se o limite for zero, beleza! Se não, significa que a função NÃO é diferenciável no ponto
No nosso caso queremos avaliar em
Vamos começar?
Passo 2
Vamos começar calculando as parciais e verificar se elas existem em . Caso alguma não exista já podemos parar por aqui e dizer que a função não é diferenciável.
Nossa função é
Aí a parcial (a partir da definição) é
Agora a parcial em :
E em :
Tranquilo até aqui?
Então vimos que as duas parciais existem e valem zero.
Passo 3
Agora vamos calcular a função nos pontos , para depois jogar todos esses resultados no limitão!
Como , e nossa função é
Daí (que já usamos no passo anterior) é
E :
Agora vamos pegar os resultados daqui do passo 3 e as parciais do passo 2 e jogar tudo no limite do passo 1!
Estamos quase lá! Força aí!
Passo 4
O limite que precisamos calcular é esse aqui:
Como , então temos
Vamos resgatar os valores dos passos anteriores:
E substituir
Agora nossa missão é resolver esse limite! A técnica aqui é fazer uma troca de variáveis: , assim nosso limite de duas variáveis vira de uma só:
E esse limite não existe! Pois pela direita a função módulo vale e pela esquerda , assim os limites bilaterais são diferentes e esse limite não existe!
Se esse limite não existe, então o nosso limite
Também não existe! E a nossa função
Não é diferenciável em