Seja

1. Determine o valor de para que seja contínua em .
2. Com o valor de obtido no item a), calcule e .
3. Decida se é diferenciável em . Justifique!

Tentando substituir no limite, caímos numa indeterminação (claro, senão não teria exercício).

Repare que temos várias coisas ao quadrado e um seno ali no limite, o que é um indício que podemos aplicar o teorema do Sanduíche ou do Anulamento!

Vamos separar o seno:

O que sobrou na expressão foi

Temos que

Opa, ótimo! Essa expressão é limitada, então pelo teorema do Anulamento:

Logo, pra ser contínua devemos ter .

b)

Calcular as derivadas parciais normalmente, além de dar um trabalhão pela função ser zuadassa, não daria certo porque teríamos uma divisão por zero.

Então calculemo-las (tá certo isso?) pela definição:

Tranquilo assim né?

E pra outra derivada parcial:

(esse é o limite fundamental do seno)

c)

É colega, se você estava achando a questão fácil até aqui talvez você mude de ideia agora. E se estava achando difícil...ah deixa pra lá. Brincadeira, nesse item só vamos ter que calcular um limite.

Tá bom, é um limitão, mas nada que a gente não consiga fazer! Temos que calcular esse cara e ver se ele dá zero:

Se for o caso, então é diferenciável em .

Esse limite é igual a:

Vamos botar o numerador todo no mesmo denominador:

Nada amigável esse limite né... Quando caímos num troço desses é bem provável que o limite não exista. Então vamos tentar provar isso.

Vamos por exemplo calcular o limite pelo caminho . Ele parece bom porque dentro do seno vamos ter

Se escolhêssemos por exemplo, teríamos , que é pior de se trabalhar.

Então vamos lá, fazendo :

Cortando em cima e em baixo:

Vamos sair dessa cavando um limite fundamental do seno. Pra isso multiplicamos tudo por :

Usando o limite fundamental do seno

sobra

Então basicamente daquilo tudo do começo só sobrou o limite

Fazendo os limites laterais:

Eles são diferentes, então esse limite não existe. Portanto, o limitão do cálculo do erro também não existe, e a função não é diferenciável em .