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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

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Enunciado

Considere a função f   : R 2 → R dada por

f x , y = x ² y ² x 2 + y ² ,   s e   x , y ≠ 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0  

  1. Calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.

Passo 1

a )

Bem, temos uma função definida por intervalos, então logo pensamos que precisamos usar a definição para calcular as derivadas parciais, né? Mas repara que nesse caso, ele não pediu para a gente calcular em um ponto específico, então podemos calcular as derivadas parciais em ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) e x , y = ( 0,0 ) .

Começando por ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

Para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , podemos usar normalmente as regras de derivação que já estamos acostumados. Assim, pela regra do quociente, temos:

∂ f ∂ x = 2 x y 2 x 2 + y 2 - x 2 y 2 ∙ 2 x x 2 + y 2 2 = 2 x y 4 x 2 + y 2 2

E

∂ f ∂ y = 2 x ² y x 2 + y 2 - x 2 y 2 ∙ 2 y x 2 + y 2 2 = 2 x 4 y x 2 + y 2 2

Passo 2

Agora, para x , y = ( 0,0 ) , devemos usar a definição de derivada parcial porque não tem cabimento simplesmente derivar o zero, né!?

Vamos lá então

∂ f ∂ x 0 , 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , 0 - f 0 , 0 x - 0 = lim x → x 0 ⁡ x ² 0 ² x 2 + 0 ² - 0 x = l i m x → 0 0 = 0

E

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 ² y ² 0 2 + y ² - 0 y = l i m y → 0 0 = 0

Passo 3

b )

Para f ser diferenciável em todo o R 2 , ela tem que ser diferenciável para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) e para x , y = ( 0,0 ) .

Para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) a função é diferenciável pois é composta por funções diferenciáveis: Polinômios.

Já para x , y = ( 0,0 ) , precisamos ver se aquele limitão é igual a zero. Vamos lá.

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2 = 0

lim h , k → 0,0 ⁡ h ² k ² h 2 + k ² - 0 - 0 . h - 0 . k h 2 + k 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ h ² k ² h 2 + k 2 3 2

Passo 4

Ok, agora a gente precisa resolver esse limite chato aí.

Lembra de coordenadas polares? Então, elas vão nos ajudar nessa missão.

Isso porque é fácil lembrar que quando tempos duas coisas ao quadrado sendo somadas, podemos substituir por r ² , pois se fizermos

h = r cos ⁡ t k = r sen ⁡ t

Temos que

h 2 + k 2 = r 2

Além disso, quando h , k → ( 0,0 ) ,

r → 0 2 + 0 2 = 0

Passo 5

Fazendo essa mudança no nosso limite, ficamos com:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ t . r 2 sen ² ⁡ t r ² 3 2 = lim r → 0 ⁡ r 4 cos 2 ⁡ t . sen ² ⁡ t r 3 = lim r → 0 ⁡ r   cos 2 ⁡ t . sen ² ⁡ t = 0

Opa, então o limitão é zero. Isso significa que a função é diferenciável em ( 0,0 ) .

Como ela também é diferenciável para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , temos então que a função é diferençável em todo o R 2 .

Resposta

  1. f x x , y = 2 x y 4 x 2 + y 2 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

    2. f y x , y = 2 x 4 y x 2 + y 2 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

  2. A função é diferenciável.

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