Seja . Em que pontos de é diferenciável? Justifique!

Partiu encontrar as derivadas parciais!

Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia, tratando como constante. Derivamos a função cosseno, depois o argumento dela, :

E a derivada em relação a é:

Show! Uma das condições para a função ser diferenciável, é que ela tenha as primeiras derivadas parciais contínuas. Nesse caso, essas derivadas são contínuas em todo o menos na origem (pelo termo que tem expoente negativo, não podemos mandar no denominador).

Mas atenção: o fato de termos um ponto de descontinuidade nas derivadas parciais não exclui a possibilidade da função ser diferenciável! O que podemos dizer é que, quando elas são contínuas, então são diferenciáveis! Enfim, não temos, nesse caso, como fugir do limite feio.

Colocando o ponto problemático em relação a continuidade no limite da diferenciabilidade,

Aí temos um problema: quais são os valores das derivadas em ? Para saber isso, precisamos fazer a derivada pela definição do limite de derivada parcial:

Colocando o ponto que queremos saber a derivada, :

Como temos cosseno menos no numerador, é uma boa ideia multiplicar por cosseno mais . Aí teremos cosseno ao quadrado menos , que é o mesmo que seno ao quadrado!

Aí vem uma carteada que não dá pra fugir... Se você observar, temos , que é o limite manjado, limitado, que dá (o fato de ser nao muda o limite, basta pensar em fazer substituição , ficando ).

Enfim, para aparecer esse limite aí, temos que mexer no denominador:

Veja que esse manejo é válido porque temos . Show? Agora vamos colocar esse quadrado do seno pra fora da fração, e passar o menos para fora também:

E aí está! O limite dá :D Isso significa que a derivada parcial em relação a no ponto é !

Ainda precisamos da derivada em relação a :/ Mas os cálculos são praticamente idênticos! Fazendo o limite que define a derivada parcial em relação a , no ponto , temos:

E agora chegamos numa equação exatamente igual a qual fizemos para o ! Tipo, exatamente igual mesmo, só muda o fato de que antes tínhamos onde tem ! Seguindo os mesmos passos, a coisa tem que dar .

Então, no ponto :

Agora voltamos no limite da diferenciabilidade, com as nossas derivadas já calculadas :)

Opa! Está vendo o mesmo que eu? Não tá ficando muito parecido com o limite que fizemos para as derivadas em relação a e a ? Vamos fazer uma substituição aqui para não precisar carregar esse para todo lado? Se chamarmos , teremos:

Multiplicando em cima e em baixo por , teremos:

Aqui, assim como no cálculo das derivadas, queremos que no denominador tenha depois que mandarmos o quadrado para fora. Então, temos que ter no denominador e no numerador, para compensar e quando dividir um pelo outro sobrar , que é o do denominador. Fica, então:

E, enfim, chegamos a conclusão de que a função é diferenciável na origem, pois o limite deu !