UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 16.
Mostre que no ponto a função
É contínua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável.
Passo 1
Para essa função ser contínua em , o limite dela quando tender a deve ser 0, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).
Então, vamos calcular esse limite.
Substituindo no ponto
Chegamos a indeterminação .
Passo 2
Para sair dessa indeterminação, repare que podemos fazer
E que isso tem a maior cara de teorema do sanduíche.
Vamos tentar usá-lo então.
Primeiramente, vamos limitar a função .
Dividindo tudo por
Agora, só falta multiplicar tudo por .
Aplicando o limite dos dois lados, temos
Assim, pelo teorema do sanduíche,
Logo, a função é contínua em .
Passo 3
Para provar que ela tem derivadas parciais, vamos tentar calculá-las.
Como temos uma função definida por intervalos, precisamos usar a definição de derivadas parciais para calcular e .
Começando por .
Agora :
Ou seja, existe e é igual a 1, e existe e é igual a 0.
Passo 4
Beleza, até agora já sabemos que a função é contínua e tem derivadas parciais. No entanto, isso não nos prova nada sobre a diferenciabilidade dela. Assim, para saber se é diferenciável ou não, temos que calcular aquele limitão e ver se dá zero ou não.
Boring, i know. Mas vamos lá né...
Ok, agora para calcular esse limite, vamos tentar o método dos caminhos.
Passo 5
Primeiro pelo caminho
Agora pelo caminho
Ou seja, esse limite, que era para dar zero, sequer existe. Assim, a função não é diferenciável em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)