USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 32
Seja uma função qualquer. Assinale a única afirmação verdadeira.
a) Se para todo , então é diferenciável em .
b) Se existe, então também existe.
b) Se as funções e são diferenciáveis em , então é uma função de classe em .
c) Se é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .
d) Se , então para todo vetor unitário .
e) Se para todo , então as funções e são de classe em .
Passo 1
Eai pessoal, beleza? Prontos para mais uma questão teórica? Partiu!!!
Nosso objetivo é achar a afirmativa verdadeira. Seguindo a ordem natural, começamos pela primeira afirmativa: Se para todo , então é diferenciável em .
A primeira coisa que você deve perceber é que
Portanto,
Vamos tentar calcular a derivada parcial com relação a pela definição:
No ponto :
Mas sabemos que
Portanto,
Mas o limite da direita dá zero, de modo que fica “sanduichado” entre zeros:
Se o limite em módulo dá zero, o limite sem o módulo também é zero:
Assim,
Passo 2
Com relação a , temos que
Mas
Fazendo exatamente a mesma coisa que fizemos na derivada com relação a (é literalmente a mesma coisa, já que a relação acima é a mesma), obtemos
Passo 3
Falta agora ver se é diferenciável em . Para isso, você precisa lembrar do limitão:
Assim, usando as derivadas parciais calculadas nos passos anteriores e , obtemos
Agora note que
Logo,
Assim,
Desta forma,
Com isso,
Como o limitão existe, é derivável nesse ponto e afirmativa é verdadeira! Como só uma afirmativa é verdadeira (o enunciado disse), já podemos assinalar a alternativa A como resposta!
Resposta
Alternativa A.