Seja
- Determine as funções e , explicitando seus domínios.
- é contínua em ? Justifique
- é diferenciável em ? Justifique
- é diferenciável em ? Justifique
Passo 1
Opa, temos uma função definida por partes. Para as derivadas parciais quando , podemos fazer normalmente, usando a regra do quociente, já que nossa função é simplesmente o quociente de duas funções polinomiais.
Assim, ficamos com:
Passo 2
Agora, quando temos a gente não pode simplesmente derivar o zero, né?!
Então, aqui, vamos usar a definição de derivadas parciais.
Ficamos, então, com:
Passo 3
Agora, pra finalizar a letra , só falta saber o domínio dessas derivadas parciais. Vamos lá:
E
Assim, tanto como estão definidos em todo o .
Passo 4
Para saber se a função derivada parcial em relação a é contínua em , precisamos que
Como para qualquer função normal.
Vamos tentar calcular esse limite então e vê se dá zero.
Se a gente observar bem, vemos que o grau do numerador é , que é igual ao grau do denominador. Isso é um bom indicio de que esse limite não existe. Vamos ver.
Começando pelo caminho :
Agora vamos tentar o caminho :
Vishhh, então esse limite não existe mesmo.
E se ele não existe ele não tem como ser igual a zero. E se não é igual a zero, que é a definição de quando , então a função não é contínua em .
Passo 5
Como as derivadas parciais de existem em , para saber se é diferenciável ou não, temos que analisar se:
As derivadas parciais em nós já temos da letra . Substituindo tudo então, ficamos com:
Vamos tentar calcular esse limite pelo caminho :
Ai, se temos que esse limite vale e se temos que esse limite vale . Logo, ele não existe.
Se esse limite não existe, não é igual a zero (dã), então a função não é diferenciável.
Passo 6
Para , temos que
Que nada mais é que o quociente de duas funções polinomiais, que são contínuas em seu domínio. Logo, nesse caso, também é contínua para .
Resposta
E
b) não é contínua em .
c) não é diferenciável em
d) é difrenciável para