Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Seja a função
a) A função é contínua em ? Justifique.
b) Determine, caso exista, .
c) A função é diferenciável em ? Justifique.
Passo 1
a) Para ver se uma função é contínua ou não em um determinador ponto, precisamos verificar se o limite quando ela tende a esse ponto é o mesmo que o valor que ela assume nele! No caso, como em o valor de , temos que verificar se:
Se essa equação for realmente verdade, então a função é contínua :D
Passo 2
Temos uma soma das variáveis no denominador, ambas com grau par, certo? E no numerador aparece o novamente... Quando temos algo nesse formato, devemos isolar a fração assim:
Mas por que? Veja só o que podemos fazer com a fração, aplicando o Teorema do Sanduíche:
Certo? Um número ao quadrado, é sempre maior ou igual a e maior ou igual a ele mesmo somado a um outro elevado à quarta potência.
Dividindo, agora tudo por , fica:
Ou seja, a fração que ficou no meio é limitada entre e !
Passo 3
Agora, podemos usar esse fato da fração ser limitada para encontrar o limite:
Como vai pra quando , e a fração é limitada, então o limite dá ! Como o valor que a função assume na origem é realmente , então ela é contínua!
Passo 4
b) Para encontrar as derivadas parciais e formar o vetor gradiente, temos que resolver os limites que definem essas derivadas.
Para encontrar , teremos:
Colocando o valor de e , teremos:
Show? Como o numerador foi pra antes mesmo de fazermos o limite, então ele vale :D
Passo 5
Agora vamos fazer a derivada em relação a ? Ela é:
Colocando e ,
Show? O limite vale novamente, e a derivada vale ! Assim, o vetor gradiente fica:
Passo 6
c) Vamos verificar se a função é diferenciável? Basta jogar no limite aqui de baixo e ver se ele vale :)
Colocando , teremos:
Colocando os valores das derivadas, da função em e em ,
Ajeitando...
Passo 7
Show, agora vamos resolver esse limite de duas variáveis? Comecemos por escolher um caminho que não dê problema... Se fizermos pela curva , o denominador não anula, então, tentemos :D
Colocando , teremos:
Colocando em evidência:
Passo 8
Agora temos que tomar cuidado ao tirar o da raiz. Vamos ter que separar o limite em 2 limites: um com e outro com .
Vamos começar pelo limite com :
Ótimo, podemos cortar o no numerador e no denominador:
E aí está! Esse limite não dá , então já podemos dizer que a função não é diferenciável ;)
Passo 9
Se você estiver com aquele tempo sobrando na prova, ou se você não acreditar em mim, ainda dá pra calcular o limite com e verificar que não dá zero!
Mas você também já deve suspeitar que esse limite vai ser que nem o outro, só com o sinal trocado:
Confirmado! não é diferenciável em .
Resposta
a) A função é contínua
b)
c) Como o limite não dá , a função não é diferenciável