Seja .
a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .
b) Calcule as derivadas parciais de em .
c) Existem e quando e são não-nulos?
d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.
Passo 1
a)
Bom, esse passo é só derivar normalmente a função! Se temos:
Então, pela regra da cadeia:
Pronto, só isso!
Passo 2
b)
Agora, vejamos as derivadas em . Como nesse ponto as derivadas calculadas no item possuem indeterminação, vamos calculá-las pelo limite da derivada.
Para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a função, teremos:
Ou seja, a derivada em relação a é !
Passo 3
Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a , fica:
E aí temos que a derivada em relação a também vale :D Pronto, só isso mesmo!
Passo 4
c)
Aqui é basicamente resolver de novo o passo anterior, mas trocando o por ou dependendo do caso. Por exemplo, para a derivada em relação a , teríamos:
Colocando a função, teremos:
Ou seja, se temos o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .
Passo 5
Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a função, teremos:
Da mesma forma, se o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .
Passo 6
d)
Calculamos as derivadas parciais de e achamos
Para , não tem nenhuma problema com as derivadas parciais: elas são contínuas, e portanto, é diferenciável.
Passo 7
Agora temos que ver se as derivadas parciais são contínuas para .
Temos 3 possibilidades: ou e , ou e , ou .
As 2 primeiras possibilidades são justamente as que vimos no item anterior, são os pontos e . Concluímos que as derivadas parciais não existem nesses pontos, portanto neles a função não é diferenciável.
Passo 8
Agora só resta o ponto . As derivadas parciais existem nesse ponto, mas isso não garante a diferenciabilidade da função!
Para ver se a função é diferenciável na origem, precisamos resolver esse limite:
Como as derivadas parciais em valem , então temos que esse limite gigante se resume a:
Passo 9
Para resolver agora esse limite de duas variáveis, escolhamos o caminho , por exemplo:
Como o grau de cima é menor que o de baixo, teremos:
E, quando , temos o limite indo para ! Dessa forma, vemos que o limite não pode existir, e, portanto, a função não pode ser diferenciável!
Passo 10
Disso tudo, concluímos que a função é diferenciável apenas nos pontos tais que .
Resposta
a) e
b)
c) Não existem derivadas para pontos do tipo ou
d) A função é diferenciável nos pontos tais que