UFRJ – Probest – 2020.2 – Prova P1 – Exercício 3
Suponha que o tempo em horas gasto com o reparo de um determinado tipo de máquina que tenha apresentado defeito seja uma variável aleatória exponencial de taxa (ou seja, média de horas).
a) Qual a probabilidade de que um reparo leve entre e horas para ser efetuado?
b) Suponha que esta máquina tenha defeito e esteja em reparo há horas. Calcule a probabilidade de que, ao longo das duas horas seguintes, a máquina esteja em processo de reparo.
c) Considere que o reparo de cada máquina desse tipo acarreta um custo fixo de reais por máquina mais um custo variável por máquina de reais/hora proporcional ao tempo em que máquina fique em reparo. Obtenha o valor esperado e o desvio padrão do custo total com reparos num mês em que 3 dessas máquinas apresentem falha, admitindo independência entre os tempos de reparo.
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!
Para resolver esse problema, você deve conhecer a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial:
O tempo de reparo segue uma variável desse tipo, de modo que a probabilidade de o tempo de reparo estar entre e é
Com isso, para resolver o item (a), basta fazer
Como , temos que
Fazendo as contas com uma calculadora:
Passo 2
Agora vamos para o item (b)! Ele basicamente quer saber a probabilidade de a máquina ficar em reparo por mais de horas, dado que ela já ficou em reparo por mais de . Para achar isso, usamos a expressão da probabilidade condicional:
Por outro lado, é fácil perceber que , afinal se , também será maior que . Portanto,
Para achar a probabilidade do numerador:
Lembrando que , temos que
Da mesma forma,
Com isso,
Como , segue que
Passo 3
Para resolver o item (c), vamos escrever primeiro a expressão do custo em função dos tempos de reparo , e de cada máquina:
Lembre-se que o custo fixo para cada máquina é reais e o custo variável por hora de reparo é reais. Desta forma, achamos
O valor esperado de é
Lembre-se que
Observe também que
Como , e seguem a mesma distribuição, temos que
E aqui vem o pulo do gato: o valor esperado da distribuição exponencial é , de modo que
Portanto,
Ou ainda,
Passo 4
Para achar a variância, o caminho é parecido, mas temos que tomar uns cuidados extras:
Como , segue que
Aqui você precisa tomar muito cuidado: você não pode só tirar o para fora como fizemos no passo 3 para o valor esperado. Temos que usar a seguinte propriedade:
Portanto,
Na distribuição exponencial, a variância é
Portanto,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Logo,
Com isso terminamos o problema!