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Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

USP probabilidade P3 2018

Considere duas variáveis aleatórias X ,   Y   contínuas e independentes ambas com distribuição exponencial com E X   =   β e E Y   =   2 β . Qual a probabilidade de P 0 < X < β   ,   0 <   Y   < 2 β ?

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como sempre vamos escrever as informações passadas no enunciado.

Temos que:

  • X , Y     Independentes
  • E X   =   β
  • E Y   =   2 β
  • X , Y     São exponencialmente distribuídas

Queremos calcular P 0 < X < β   ,   0 <   Y   < 2 β

Passo 2

Sabemos que X , Y     são exponencialmente distribuídas, mas não sabemos com quais parâmetros.

Contudo sabemos as esperanças dessas variáveis e com isso podemos calcular seus parâmetros.

Suponha que X   ∼ e x p e x p   λ   então:

E X   =   ∫ 0 ∞ x λ e - λ x d x  

  ∫ 0 ∞ x λ e - λ x d x   =   λ e - λ x λ x   + 1 λ 2 ​ | x = 0   x   =   ∞

=     1 λ

Prontinho, agora sabemos quais os parâmetros das distribuições de X , Y  

  • Y   ∼ e x p e x p   1 2 β  

  • X   ∼ e x p e x p   1 β  

Passo 3

Agora podemos calcular a nossa probabilidade de interesse que é P 0 < X < β   ,   0 <   Y   < 2 β

P 0 < X < β   ,   0 <   Y   < 2 β =   P 0 < X < β P   0 <   Y   < 2 β por independencia de X , Y  

P 0   < X < β   =   ∫ 0 β 1 β e - x β d x

  ∫ 0 β 1 β e - x b d x   =   - 1 β e - x β ⋅ β ​ | x =   0 x = β

  ∫ 0 β 1 β e - x b d x   =   - 1 β e - x β ⋅ β ​ | x =   0 x = β

- 1 β e - x β ⋅ β ​ | x =   0 x = β   =   1   -   e - 1

P 0   < Y < 2 β   =   ∫ 0 2 β 1 2 β e - y 2 β d y

  ∫ 0 2 β 1 2 β e - y 2 β d y   =   - 1 2 β e - y 2 β ⋅ 2 β ​ | y =   0 y = 2 β

  ∫ 0 2 β 1 2 β e - y 2 β d y   =   - 1 2 β e - y 2 β ⋅ 2 β ​ | y =   0 y = 2 β

- 1 2 β e - y 2 β ⋅ 2 β ​ | y =   0 y = 2 β   =   1   -   e - 1

Passo 4

Agora podemos calcular P 0 < X < β   ,   0 <   Y   < 2 β =   P 0 < X < β P   0 <   Y   < 2 β

=   1   -   e - 1 1   -   e - 1   =   1   -   e - 1 2

Resposta

1   -   e - 1 2

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )