Distribuição Exponencial
O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória Exponencialmente distribuída com parâmetro .
(a) Deduza, usando integração, a Função de Distribuição Acumulada(FDA) da v.a. ∼ Exponencial(λ). Calcule a probabilidade de um tempo de reparo exceder a 1 hora.
Passo 1
Letra a)
Deduzir??? Siiim, aqui só precisamos lembrar que a integral da função de densidade é a função de distribuição acumulada (FDA)! Mas qual a função de densidade da nossa v.a. ? Sabemos que:
E também sabemos que, lááá da teoria, a cara de uma função de densidade da Exponencial é:
Como nosso , nossa função de densidade fica:
E agora pra calcular nossa FDA, ou basta fazermos a integral de , indo de menos infinito até ! Lembrando que é simplesmente nossa com ’s no lugar dos ’s:
Essa primeira integral dá zero! Mas na segunda, Vamos ter que fazer uma substituição simples:
Substituindo, nossa integral fica:
Agora aplicando os nossos limites de integração nesse resultado:
E aí está nossa FDA!
Passo 2
Mas nessa letra a) a questão também tá pedindo pra gente calculara probabilidade do tempo de reparo exceder uma hora, ou seja, . Lembrando da definição de probabilidade complementar, sabemos que:
E é a probabilidade de assumir todos os valores de probabilidade até o valor 1, ou seja, a probabilidade acumulada até 1! Vamos usar nossa FDA então:
Resposta
Letra a)