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Em uma grande rede corporativa de computadores, o número de conexões dos usuários ao sistema pode ser modelado como um processo que segue uma distribuição Poisson com média de 20 conexões por hora. Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
- Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre conexões esteja entre 2 e 4 minutos?
- Determine qual é o tempo que no mínimo deve transcorrer para que ocorra uma conexão, com 90% de probabilidade.
Passo 1
Issaê até agora não é novidade. Apenas o que já foi dito no enunciado!
Mas pera lá! Tão perguntando sobre o intervalo de tempo entre esses acontecimentos que seguem uma Poisson! Aqui temos que lembrar daquele bizu da relação da Poisson com a Exponencial.
O intervalo de tempo entre dois eventos consecutivos Poisson pode ser modelado como uma v.a. Exponencial! Então:
Onde é a média da Poisson, ou seja, , e é o intervalo de tempo ao longo do qual estamos analisando as ocorrências dos nossos eventos Poisson. Como nossa v.a. analisa as ocorrências ao longo de uma hora, nosso ! Então os parâmetros de ficam:
Passo 2
a)
Agora queremos:
Mas estamos trabalhando em horas, então vamos passar isso aí pra hora também. Sabemos que minutos é igual a de hora, então o que queremos calcular é...
Lembrando a fórmula da FDA da Exponencial:
No nosso caso seria:
Podemos trabalhar com a complementar para calcular a probabilidade pedida:
Usando a fórmula da FDA:
Passo 3
b)
Agora queremos:
De novo, isso aí foi pedido em minutos. Passando para horas, que é a unidade que estamos usando nos parâmetros de :
A nossa função de densidade da Exponencial, lembrando que nosso , é:
Então podemos calcular essa probabilidade integrando a função de densidade no intervalo pedido:
Passo 4
c)
Queremos saber qual o tempo mínimo que garante com 90% de chances que uma conexão vai ocorrer. Se queremos que o tempo seja mínimo, ele tem que limitar o nosso por baixo, ou seja, tem que ser maior que ele. A probabilidade que estamos discutindo é então:
Agora podemos usar a complementar da FDA:
Substituindo a fórmula dela aí (como vimos no passo 2)...
E nós sabemos que isso aí tem que valer . Igualando esses valores:
Aplicando dos dois lados:
Resposta
a)
b)
c)