Estudos mostram que em períodos críticos, o número de casos de dengue notificados em um determinado posto de saúde segue uma distribuição de Poisson. A cada semana, em média, casos são notificados.

1. Qual é a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas notificações consecutivas seja maior que dois dias?
2. Após uma notificação no início de uma semana, exatamente dias se passaram sem nenhum outro caso ser notificado. Qual é a probabilidade de que não haja casos notificados nesta semana?

Agora que vem o pulo do gato, eu não estou interessado na quantidade de casos por dia, mas sim no intervalo de tempo (em dias) entre dois casos consecutivos. Hmmm, lembra daquela relação Exponencial – Poisson.

Poisson é número de algum evento e Exponencial é o intervalo entre esses eventos.

Vou chamar então de:

O lambda continua o mesmo.. lembra o porque?

Se eu tenho uma média de casos de dengue por dia, qual o intervalo médio que eu devo ter entre casos consecutivos? Seria , certo? Só que a média de uma distribuição exponencial é:

Aí a gente fica com:

Tá a gente tem que calcular a probabilidade do intervalo ser maior do que dois dias. Só a gente pegar a função de probabilidade da exponencial e integrar de até infinito.

(b)

A gente tem que calcular a probabilidade do intervalo entre dois casos ser maior que dias (garantindo que não teremos casos de dengue nessa semana), já sabendo que não houve casos num intervalo de dias .

Usando a fórmula da probabilidade condicional:

A interseção de com é o próprio , concorda? Interseção de todos os valores maiores que como todos os valores maiores que são os próprios valores maiores que , já que todo valor maior que também é maior que .

Então fica:

O de baixo a gente já tem, vamos calcular o de cima.

Agora é só juntar: