Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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Enunciado

Considere duas variáveis aleatórias independentes X   e   Y ; ambas as variáveis obedecem a uma distribuição exponencial com parametro igual a l. A variância da variável aleatória Z = 3 X - 4 Y   é:

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certinho com vocês? Vamos para vais uma questão de probabilidade dessa vez envolvendo a variância de variáveis aleatórias:

Do enunciado temos que:

  • X   e   Y são independentes
  • X   ~   exp ⁡ 1
  • Y ∼   exp ⁡ 1

Queremos calcular V Z = V 3 X - 4 Y  

Passo 2

Como queremos calcular V Z , vamos lembrar a definição de variância e suas propriedades:

  • V Z   =   E Z 2   -   E Z 2
  • V a X   ± b Y   =   a 2 V X   +   b 2 V Y Se X   e   Y forem independentes e a   e   b   ∈ R

Passo 3

Agora que lembramos as propriedades da variância vamos calcular V Z .

V Z = V 3 X - 4 Y  

(Usando a propriedade do passo anterior)

= 9 V X + 16 V Y  

Agora só precisamos calcular V X   ou   V Y , pois como X   e   Y tem a mesma distribuição, suas variâncias serão iguais.

Sabemos que X   ∼ exp ⁡ 1 , mas na distribuição exponencial tanto sua variância quanto sua média são iguais ao seu parâmetro. Logo V X   =   1

Passo 4

Agora que sabemos quem é V X podemos terminar de calcular V Z

V Z = V 3 X - 4 Y  

= 9 V X + 16 V Y  

(pois vimos que X   e   Y tem variâncias iguais a um)

= 9 + 16  

= 25  

Resposta

25  

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Suponha que a variável aleatória tenha valores possíveis, 1, 2, 3, .. e que P X = r = k 1 - β r - 1,0β1 Determine a constante k e ache a moda desta distribuição.
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:P ( X = 5 ) P ( 4X6 ) P ( 2 = X5 )
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(d) P (X = 7,X2) .
Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:(c) P ( 2 = X5 )