A mediana de uma variável aleatória 𝑋   é por definição o valor 𝑚   tal que 𝐹 𝑋 𝑚 = 0,5 . Onde 𝐹 𝑋 𝑥 é a função distribuição cumulativa de probabilidade. O valor de 𝑚   quando 𝑋   é uma variável aleatória exponencial de parâmetro 𝜆 é:

Passo 1

Fala pessoa. Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Dessa vez queremos calcular a mediana 𝑚   de uma distribuição exponencial de parâmetro 𝜆

Passo 2

Para podermos calcular a mediana da distribuição exponencial, precisamos saber qual é a sua função de probabilidade acumulada. Vamos lembrar qual é a fpa da exponencial.

Se 𝑋 ∼ exp ⁡ 𝜆 então:

𝐹 𝑋 𝑥   =   1   −   𝑒 − 𝜆 𝑥

Passo 3

Por definição a mediana 𝑚   é um valor tal que 𝐹 𝑋 𝑚 = 0,5 .

Então a mediana da exponencial será:

𝐹 𝑋 𝑥 = 0,5

⇒   1 − 𝑒 − 𝜆 𝑥 = 0,5

⇒   − 𝑒 − 𝜆 𝑥 = − 1 2

⇒   𝑒 − 𝜆 𝑥 = 1 2

(aplicando o log)

⇒   log ⁡ 𝑒 − 𝜆 𝑥 = log ⁡ 1 2

⇒   − 𝜆 𝑥 = log ⁡ 1 2

(usando a propriedade do log da fração)

⇒   − 𝜆 𝑥 = − log ⁡ 2

⇒   𝑥 = log ⁡ 2 𝜆

Resposta

log ⁡ 2 𝜆

Exercícios Resolvidos de Distribuição Exponencial

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