Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

Para cada função abaixo, determine um intervalo de comprimento 1 que ela possua pelo menos uma raiz da função

c )   h x = 1 + x cos ⁡ π x 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

A questão fala em uma função h ( x )

h x = 1 + x cos ⁡ π x 2

E quer saber qual é o intervalo de comprimento 1 e que dentro desse intervalo tem que ter pelo menos 1 raiz

Mas você lembra o que é uma raiz de uma função?

x no qual

h x = 0

Isso mesmo! Então a ideia é a gente igualar a função a zero e tentar achar raízes! E mais: essa raiz precisa estar em um intervalo de comprimento 1!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

h x = 1 + x cos ⁡ π x 2

Precisamos achar as raízes, ou pelo menos uma delas

1 + x cos ⁡ π x 2 = 0

Então, nossa missão agora é encontrar valores de x que deixem isso zero!

E agora?

Passo 3

Vamos pensar o que acontece em torno de uma raiz? Quando a raiz é simples, a função passa de valores negativos/positivos para positivos/negativos, ou seja, ela troca de sinal! Então nesse intervalo temos com certeza uma raiz!

Vamos olhar com carinho a função novamente

h x = 1 + x cos ⁡ π x 2

Vamos testar ela em x = 1 / 2

h 1 2 = 1 + 1 2 cos ⁡ π 4 = 1 + 1 2 . 2 2 = 1 + 2 4 > 0

Em zero a função assume um valor positivo. E se testarmos e x = 3 / 2 , o que será que acontece?

h 3 2 = 1 + 3 2 cos ⁡ π 4 = 1 + 3 2 . 2 2 = 1 - 3 2 4 < 0

Temos um valor negativo! Isso significa que nesse intervalo 1 2 ; 3 2

temos uma raiz!

Sabemos qual é o valor dela? NÃO! Mas não é o valor da raiz que o problema pede! É o intervalo! Então tá tudo bem!

E esse intervalo ainda tem comprimento 1, que é exatamente o que o problema pede! Então é isso!

1 2 ; 3 2

Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 ; 3 2

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