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Exercícios Resolvidos de Equações trigonométricas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 26

Resolva as equações

  1. 2   c o s ( 3 x )   =   1 ;
  2. t g ( x / 4 )   +   √ 3   = �� 0 ;
  3. 3   c o s (   3 x   − 3 π / 2 ) = 3 / 2 ;
  4. s e n ( 2 x )   +   c o s   x   =   0 ;

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

solucionar as equações. Vamos começar pela letra a )

2   c o s ( 3 x )   =   1 ;

isolando x ,

c o s ( 3 x )   =   1 / 2 ;

aplicando o arco-coseno. Obtemos

  3 x   =   a r c c o s ( 1 / 2 )

⇒ x =   a r c c o s ( 1 / 2 ) / 3

como a r c c o s ( 1 / 2 ) = π / 3 , então

x = π / 9

Passo 2

Vamos para a letra b )

t g ( x / 4 )   +   √ 3   =   0 ;

isolando x ,

t g ( x / 4 )   =   - √ 3   ;

aplicando o arco-tangente. Obtemos

x / 4   =   a r c t g ( - √ 3 )

⇒ x = 4 * a r c t g ( - √ 3 )

Passo 3

Letra c )

3   c o s (   3 x   − 3 π / 2 ) = 3 / 2 ;

isolando x ,

  c o s (   3 x   − 3 π / 2 ) = 1 / 2 ;

aplicando o arco-coseno. Obtemos

  3 x   − 3 π / 2   =   a r c c o s ( 1 / 2 )

⇒ x =   a r c c o s ( 1 / 2 ) / 3 + π / 2

como a r c c o s ( 1 / 2 ) = π / 3 , então

x = π / 9 + π / 2

Passo 4

a letra d )

s e n ( 2 x )   +   c o s   x   =   0 ;

Usando que s i n ( 2 x ) = 2 s i n ( x ) c o s ( x ) , temos

s e n ( 2 x )   +   c o s   x   =   0 ;

⇒ 2 s i n ( x ) c o s ( x ) + c o s ( x ) = 0

Colocando c o s em evidência

c o s ( x ) ( 2 s i n ( x ) + 1 ) = 0

Temos um produto igual a zero, logo pelo menos uma de suas parcelas é zero. Ou seja

c o s ( x ) = 0

ou

2 s i n ( x ) + 1 = 0

Da primeira condição, temos que

c o s ( x ) = 0

⇒ x = a r c c o s ( 0 )

Da segunda condição, temos:

2 s i n ( x ) + 1 = 0

s i n ( x ) = - 1 / 2

aplicando arco seno

x = a r c s e n o ( - 1 / 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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